Aby obliczyć granicę ciągu musimy sprawdzić, czy po zastąpieniu n znakiem nieskończoności w zapisie nie pojawi się symbol nieoznaczony - wyrażenie, które w matematyce nie ma sensu liczbowego. Symbolami nieoznaczonymi są m. in.: [tex]\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0* \infty, 0^0, 1^\infty, \infty^0[/tex].
W takim wypadku musimy przekształcić wzór ciągu, np. mnożąc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia lub przez wyciągniecie n przed nawias.
Obliczanie granicy ciągu
98.
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}-\sqrt{n-1} = 0[/tex]
99.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+7}-3\sqrt{n-7}}{2\sqrt{n} } = -1[/tex]
100.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+2}-n }{n+\sqrt{3n^2+2n} } =0[/tex]
Rozwiązanie:
Aby obliczyć granicę ciągu musimy sprawdzić, czy po zastąpieniu n znakiem nieskończoności w zapisie nie pojawi się symbol nieoznaczony - wyrażenie, które w matematyce nie ma sensu liczbowego. Symbolami nieoznaczonymi są m. in.: [tex]\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0* \infty, 0^0, 1^\infty, \infty^0[/tex].
W takim wypadku musimy przekształcić wzór ciągu, np. mnożąc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia lub przez wyciągniecie n przed nawias.
98.
[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}-\sqrt{n-1} = [\infty - \infty] = \lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n - (n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} = [\frac{1}{\infty+\infty} ] = 0[/tex]
99.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+7}-3\sqrt{n-7}}{2\sqrt{n} } = [\frac{\infty - \infty}{\infty} ] = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+7}-3\sqrt{n-7})(\sqrt{n+7}+3\sqrt{n-7})}{2\sqrt{n}(\sqrt{n+7}+3\sqrt{n-7}) } =[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n+7 - 9(n-7)}{2\sqrt{n^2+7n}+6\sqrt{n^2-7n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+7-9n+63}{2\sqrt{n^2(1+\frac{7}{n})}+6\sqrt{n^2(1-\frac{7}{n})}} =[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{-8n+70}{2n(\sqrt{1+\frac{7}{n} }+3\sqrt{1-\frac{7}{n} }) } } = \lim_{n \to \infty} \frac{2n(-4+\frac{35}{n} )}{2n(\sqrt{1+\frac{7}{n} }+3\sqrt{1-\frac{7}{n} } )} } = [\frac{-4+0}{1+3} ] = -1[/tex]
100.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2+2}-n }{n+\sqrt{3n^2+2n} } = [\frac{\infty-\infty}{\infty+\infty} ] = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{1+\frac{2}{n^2} }-1 )}{n(1+\sqrt{3+\frac{2}{n} } )} = [\frac{1-1}{1+\sqrt{3}} ] = 0[/tex]
#SPJ1