Question

Proszę na teraz...Dużo PKT...
Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a+b+c=10, zaś ciąg (a-5, b-4, c-11) jest arytmetyczny. Oblicz a, b, c.

Answer 1

Liczby a, b i c to:

[tex]a=\dfrac{14+8\sqrt3}3, b=\dfrac23, c=\dfrac{14-8\sqrt3}3[/tex]

lub

[tex]a=\dfrac{14-8\sqrt3}3, b=\dfrac23, c=\dfrac{14+8\sqrt3}3[/tex]

Ciągi liczbowe

Jeżeli x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to:

[tex]\huge\boxed{y=\dfrac{x+z}2}[/tex]

Jeżeli x, y, z w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to:

[tex]\huge\boxed{y^2=xz}[/tex]

Wiemy, że ciąg a, b, c jest geometryczny, zaś ciąg a-5, b-4, c-11 jest arytmetyczny.

Wiemy również, że suma liczb a, b i c jest równa 10, zatem:

[tex]a+b+c=10 \Rightarrow \underline{\bold{a+c=10-b}}[/tex]

Korzystając z zależności między kolejnymi wyrazami ciągów arytmetycznych i geometrycznych układamy równania:

1. Ciąg arytmetyczny:
   [tex]b-4=\dfrac{a-5+c-11}{2}\:\:\:\:|\:\cdot 2\\\\2b-8=a+c-16\\\\2b=a+c-16+8\\\\2b=10-b-8 \:\:\:\:\:\:|\:+b\\\\3b=2 \:\:\:\:\: | \: :3\\\\b=\dfrac23[/tex]
   
   Dzięki wyznaczeniu liczby b dowiemy się, ile wynosi suma liczb a i c:
   
   [tex]a+c=10-\dfrac23\\\\a+c=9\dfrac13\\\\a+c=\dfrac{28}3\\\\\underline{\bold{a=\dfrac{28}3-c}}[/tex]
   
2. Ciąg geometryczny:
   [tex]b^2=ac\\\\\left(\dfrac23\right)^2=\left(\dfrac{28}3-c\right)c\\\\\dfrac49=\dfrac{28}3c-c^2\\\\c^2-\dfrac{28}3c+\dfrac49=0\\\\\Delta=\left(-\dfrac{28}3\right)^2-4\cdot1\cdot\dfrac49\\\\\Delta=\dfrac{784}9-\dfrac{16}9\\\\\Delta=\dfrac{768}{9}\\\\\sqrt{\Delta}=\dfrac{16\sqrt3}3[/tex]
   
   [tex]c_1=\dfrac{\frac{28}3-\frac{16\sqrt3}3}{2}=\dfrac{28-16\sqrt3}{6}=\dfrac{2(14-8\sqrt3)}{6}\Rightarrow \underline{\bold{c_1=\dfrac{14-8\sqrt3}3}}\\\\a_1=\dfrac{28}3-\dfrac{14-8\sqrt3}3=\dfrac{28-14+8\sqrt3}3\Rightarrow \underline{\bold{a_1=\dfrac{14+8\sqrt3}3}}\\\\c_2=\dfrac{\frac{28}3+\frac{16\sqrt3}3}{2}=\dfrac{28+16\sqrt3}6\Rightarrow \underline{\bold{c_2=\dfrac{14+8\sqrt3}3}}\\\\a_2=\dfrac{28}3-\dfrac{14+8\sqrt3}3=\dfrac{28-14-8\sqrt3}3\Rightarrow \underline{\bold{a_2=\dfrac{14-8\sqrt3}3}}[/tex]