Rozważmy 1 ścianę boczną tego ostrosłupa: krawędzie boczne są równe 5cm, co oznacza że 1 ściana boczna składa się z trójkąta prostokątnego o bokach: 5cm, 5cm, x, gdzie x to krawędź podstawy:
z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]5^2+5^2=x^2[/tex]
[tex]25+25=x^2[/tex]
[tex]50=x^2[/tex]
[tex]x=\sqrt{50}[/tex]
[tex]x=\sqrt{25*2}[/tex][tex]x=5\sqrt{2}[/tex]
Wszystkie ściany boczne są takie same, zatem wszystkie krawędzie podstawy wynoszą [tex]5\sqrt{2}[/tex]cm. W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.
Policzmy jego wysokość ze wzoru [tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex], gdzie [tex]a[/tex] to długość boku:
Prowadzimy wysokość [tex]H[/tex] całego ostrosłupa. Pada ona pod kątem prostym na podstawę i przecina wysokość [tex]h[/tex] w stosunku 2:1. Liczymy tą dłuższą część:
Odpowiedź:
Rozważmy 1 ścianę boczną tego ostrosłupa: krawędzie boczne są równe 5cm, co oznacza że 1 ściana boczna składa się z trójkąta prostokątnego o bokach: 5cm, 5cm, x, gdzie x to krawędź podstawy:
z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]5^2+5^2=x^2[/tex]
[tex]25+25=x^2[/tex]
[tex]50=x^2[/tex]
[tex]x=\sqrt{50}[/tex]
[tex]x=\sqrt{25*2}[/tex][tex]x=5\sqrt{2}[/tex]
Wszystkie ściany boczne są takie same, zatem wszystkie krawędzie podstawy wynoszą [tex]5\sqrt{2}[/tex]cm. W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.
Policzmy jego wysokość ze wzoru [tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex], gdzie [tex]a[/tex] to długość boku:
[tex]h=\frac{5\sqrt{2}*\sqrt{3} }{2} =\frac{5\sqrt{6}}{2}[/tex]
Prowadzimy wysokość [tex]H[/tex] całego ostrosłupa. Pada ona pod kątem prostym na podstawę i przecina wysokość [tex]h[/tex] w stosunku 2:1. Liczymy tą dłuższą część:
[tex]\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}*\frac{5\sqrt{6} }{2} =\frac{1}{3}*\frac{5\sqrt{6} }{1} =\frac{5\sqrt{6} }{3}[/tex]
Liczymy wysokość [tex]H[/tex] z twierdzenia Pitagorasa:
[tex](\frac{2}{3} h)^2+H^2=5^2[/tex]
[tex](\frac{5\sqrt{6} }{3})^2+H^2=5^2\\[/tex]
[tex]\frac{25*6 }{9}+H^2=25[/tex] //[tex]*9[/tex]
[tex]25*6+H^2=25*9[/tex]
[tex]150+H^2=225\\[/tex] //[tex]-150[/tex]
[tex]H^2=225-150[/tex]
[tex]H^2=75[/tex]
[tex]H=\sqrt{75}[/tex]
[tex]H=\sqrt{25*3}[/tex]
[tex]H=5\sqrt{3}[/tex]
Objętość całego ostrosłupa:
[tex]V=\frac{1}{3}*Pp*H[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*(\frac{1}{2}*x*h )*H[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*(\frac{1}{2}*5\sqrt{2} *\frac{5\sqrt{6} }{2} )*5\sqrt{3}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*\frac{5\sqrt{2}* 5\sqrt{6} }{2*2} *5\sqrt{3}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*\frac{25\sqrt{12} }{4} *5\sqrt{3}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*\frac{25\sqrt{12}*5\sqrt{3} }{4}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*\frac{125\sqrt{36}}{4} \\[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3}*\frac{125*6}{4}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{1}*\frac{125*2}{4} \\[/tex]
[tex]V=\frac{125}{2}[/tex]
[tex]V=62,5cm^3[/tex]
II sposób:
Zauważmy że objętość danego stożka jest połową objętości sześcianu o boku a=5cm.
[tex]V_{szescianu}=a^3=5^3=125[/tex]
[tex]V_{stozka}=\frac{1}{2}* V_{szescianu}[/tex]
[tex]V_{stozka}=\frac{1}{2}* 125[/tex]
[tex]V_{stozka}=\frac{125}{2}[/tex]
[tex]V_{stozka}=62,5cm^3[/tex]