Logarytm przy podstawie "a" z liczby "b" daje taką liczbę "c", że liczba "a" podniesiona do potęgi "c" daje liczbę "b".
[tex]\huge\boxed{log_ab=c \to a^c=b}[/tex]
Najważniejsze wzory:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}log_ab+log_ac=log_a(b*c)\\log_ab-log_ac=log_a(\frac{b}c)\\n*log_ab=log_a(b^n)\\a^{log_ab}=b\\log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\\log_{10}x=logx\\log_nn=1\end{array}}[/tex]
[tex]log_93+log_927=log_9(3*27)=log_9(3*3^3)=log_981=2[/tex]
Odp. A
[tex]log_432-log_42=log_4(32:2)=log_416=2[/tex]
Odp. B.
[tex]log_x\dfrac19=-4\\x^{-4}={\dfrac19}\\(x^2)^{-2}=9^{-1}\\(x^2)^{-2}=(3^2)^{-1}\\(x^2)^{-2}=3^{-2}\\x^2=3\\x=\sqrt{3}\\\\[/tex]
Odp. C
[tex]log_2[log_3(log_2512)]=log_2(log_39)=log_22=1[/tex]
Odp. B
[tex]log_927=x\\9^x=27\\(3^2)^x=3^3\\3^{2x}=3^3\\2x=3 /:3\\x=\frac32\\\\log_9{27}+1=\dfrac32+1=\dfrac32+\dfrac22=\dfrac52[/tex]
Z definicji logarytmu:
[tex]c=log_23\\2^c=3[/tex]
[tex]log_3[log_{64}(log_{\sqrt3}9)]\\log_{\sqrt3}9=x\\(\sqrt3)^x=9\\(3^{\frac12})^x=3^2\\3^{\frac12x}=3^2\\\frac12x=2 /*2\\x=4\\\\log_{64}4=y\\64^y=4\\(4^3)^y=4^1\\4^{3y}=4^1\\3y=1 /:3\\y=\frac13\\\\log_3\frac13=z\\3^z=\frac13\\3^z=3^{-1}\\z=-1\\\\log_3[log_{64}(log_{\sqrt3}9)]=log_3(log_{64}4)=log_3\frac13=-1[/tex]
Odp. D
[tex]log_4(log_93)\\log_93=x\\9^x=3\\(3^2)^x=3\\3^{2x}=3^1\\2x=1 /:2\\x=\frac12\\\\log_4\frac12=y\\4^y=\frac12\\(2^2)^y=2^{-1}\\2^{2y}=2^{-1}\\2y=-1 /:2\\y=-\frac12\\\\log_4(log_93)=log_4\frac12=-\frac12[/tex]
Odp. D.
[tex]2*log_{\frac13}\sqrt3=log_{\frac13}(\sqrt3)^2=log_{\frac13}3=-1\\[/tex]
Odp. C.
[tex]\frac12*log_{\frac1{\sqrt3}}9=log_{\frac1{\sqrt3}}9^{\frac12}=log_{\frac1{\sqrt3}}\sqrt9=log_{\frac1{\sqrt3}}3=-2\\\\(\frac1{\sqrt3})^x=3\\((\sqrt3)^{-1})^x=3\\(3^{\frac12})^{-x}=3\\3^{-\frac12x}=3\\-\frac12x=1 /*(-2)\\x=-2[/tex]
Odp. A.
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
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Logarytmy
Logarytm przy podstawie "a" z liczby "b" daje taką liczbę "c", że liczba "a" podniesiona do potęgi "c" daje liczbę "b".
[tex]\huge\boxed{log_ab=c \to a^c=b}[/tex]
Najważniejsze wzory:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}log_ab+log_ac=log_a(b*c)\\log_ab-log_ac=log_a(\frac{b}c)\\n*log_ab=log_a(b^n)\\a^{log_ab}=b\\log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\\log_{10}x=logx\\log_nn=1\end{array}}[/tex]
Zadanie 1.
[tex]log_93+log_927=log_9(3*27)=log_9(3*3^3)=log_981=2[/tex]
Odp. A
Zadanie 2.
[tex]log_432-log_42=log_4(32:2)=log_416=2[/tex]
Odp. B.
Zadanie 3.
[tex]log_x\dfrac19=-4\\x^{-4}={\dfrac19}\\(x^2)^{-2}=9^{-1}\\(x^2)^{-2}=(3^2)^{-1}\\(x^2)^{-2}=3^{-2}\\x^2=3\\x=\sqrt{3}\\\\[/tex]
Odp. C
Zadanie 5.
[tex]log_2[log_3(log_2512)]=log_2(log_39)=log_22=1[/tex]
Odp. B
Zadanie 6.
[tex]log_927=x\\9^x=27\\(3^2)^x=3^3\\3^{2x}=3^3\\2x=3 /:3\\x=\frac32\\\\log_9{27}+1=\dfrac32+1=\dfrac32+\dfrac22=\dfrac52[/tex]
Odp. B.
Zadanie 7.
Z definicji logarytmu:
[tex]c=log_23\\2^c=3[/tex]
Odp. C
Zadanie 8.
[tex]log_3[log_{64}(log_{\sqrt3}9)]\\log_{\sqrt3}9=x\\(\sqrt3)^x=9\\(3^{\frac12})^x=3^2\\3^{\frac12x}=3^2\\\frac12x=2 /*2\\x=4\\\\log_{64}4=y\\64^y=4\\(4^3)^y=4^1\\4^{3y}=4^1\\3y=1 /:3\\y=\frac13\\\\log_3\frac13=z\\3^z=\frac13\\3^z=3^{-1}\\z=-1\\\\log_3[log_{64}(log_{\sqrt3}9)]=log_3(log_{64}4)=log_3\frac13=-1[/tex]
Odp. D
Zadanie 9.
[tex]log_4(log_93)\\log_93=x\\9^x=3\\(3^2)^x=3\\3^{2x}=3^1\\2x=1 /:2\\x=\frac12\\\\log_4\frac12=y\\4^y=\frac12\\(2^2)^y=2^{-1}\\2^{2y}=2^{-1}\\2y=-1 /:2\\y=-\frac12\\\\log_4(log_93)=log_4\frac12=-\frac12[/tex]
Odp. D.
Zadanie 10.
[tex]2*log_{\frac13}\sqrt3=log_{\frac13}(\sqrt3)^2=log_{\frac13}3=-1\\[/tex]
Odp. C.
Zadanie 11.
[tex]\frac12*log_{\frac1{\sqrt3}}9=log_{\frac1{\sqrt3}}9^{\frac12}=log_{\frac1{\sqrt3}}\sqrt9=log_{\frac1{\sqrt3}}3=-2\\\\(\frac1{\sqrt3})^x=3\\((\sqrt3)^{-1})^x=3\\(3^{\frac12})^{-x}=3\\3^{-\frac12x}=3\\-\frac12x=1 /*(-2)\\x=-2[/tex]
Odp. A.