Prosił bym o pomoc z dwoma zadaniami.
Zadanie.1
Jakiej siły należy użyć aby pręt aluminiowy podgrzał sie od temperatury 20*C do temperatury 40*C w wyniku przesunięcia go o 25m. Masa pręta wynosi 10kg.
Zadanie.2
W wyniku tarcia bloczek aluminiowy o masie 2 kg zwiekrzył swoja temp. o 10kg. Jaka prace wykonano nad tym bloczkiem?
.
równowagi. Moment siły N działający na wahadło, pochodzący od siły ciężkości, wyraża się wzorem:
N = −mglsin θ, (1.1.1)
gdzie m to masa wahadła, l odległość środka ciężkości
od punktu podparcia, czyli od osi obrotu. Równanie
ruchu wahadła ma postać:
N = J ¨
θ, (1.1.2)
gdzie J jest momentem bezwładności względem osi obrotu. Wprowadzając oznaczenie ω
2
0 = mgl/J można
równanie ruchu zapisać w postaci:
¨
θ + ω
2
0
sin θ = 0. (1.1.3)
Przybliżenie oscylatora harmonicznego
Dla małych wychyleń możemy zrobić przybliżenie sin θ ≈ θ. Wtedy równanie (1.1.3)
sprowadza się do równania ruchu oscylatora harmonicznego:
¨
θ + ω
2
0
θ = 0. (1.1.4)
Rozwiązaniem równania (1.1.4) jest funkcja postaci:
θ (t) = θ0 sin (ω0t + φ0), (1.1.5)
gdzie θ0 to amplituda, a φ0 faza początkowa.
Okres drgań wahadła zycznego
Ruch opisany funkcją (1.1.5) jest okresowy z okresem T0 = 2π/ω0. Dla pewnych
warunków początkowych ruch opisany równaniem (1.1.3) jest również okresowy. Aby
obliczyć okres drgań T mnożymy równanie (1.1.3) przez
˙
θ i po separacji zmiennych
całkujemy obustronnie uwzględniając warunek
˙
θ = 0 dla θ = θ0. Otrzymujemy wtedy
równanie ruchu:
˙
θ
2
− 2ω
2
0
(cos θ − cos θ0) = 0. (1.1.6)
Przy przejściu wahadła od kąta 0 do θ0 upływa czas równy T/4. Więc rozdzielając zmienne i całkując równanie (1.1.6) po czasie w granicach (0, T/4) oraz po kącie
w granicach (0, θ0) otrzymujemy:
T
4
=
Zθ0
0
dθ
p
2ω
2
0
(cos θ − cos θ0)
. (1.1.7)
W całce z równania (1.1.7) wykonujemy zamianę zmiennych z θ na α poprzez podstawienie sin α = sin (θ/2) / sin (θ0/2). Otrzymujemy całkę eliptyczną zupełną pierwszego
rodzaju:
T =
2T0
π
π/2
Z
0
dα
p
1 − sin
2
(θ0/2) sin
2
α
. (1.1.8)
Całkę eliptyczną można wyrazić przez funkcję hipergeometryczną 2F1 lub jej rozwinię-
cie w szereg. Wtedy okres drgań wynosi:
T = T0 2F1
1
2
,
1
2
; 1; sin
2
θ0
2
=
= T0
1 +
1
4
sin
2
θ0
2
+
9
64
sin
4
θ0
2
+ . . .
. (1.1.9)