PROBLEMA No 3 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que describe la trayectoria de un avión que se mantiene sobrevolando la ciudad a una distancia de 4 km de la torre del aeropuerto si su centro está en las intersecciones de las rectas x+3y- 7=0 y 2x + 5y - 12 = 0
ayudeme porfavor:(
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Respuesta:
[tex](x-1)^2+(y-2)^2=16[/tex]
en la imagen adjunta se encuentra la gráfica de las rectas, su punto de intersección y el circulo trazado por el avión.
Explicación paso a paso:
las ecuaciones dadas son:
[tex]x+3y=7[/tex] Ecuación 1
[tex]2x+5y=12[/tex] Ecuación 2
vamos a resolver estas ecuaciones por el método de sustitución, despejando x de la ecuación 1 y reemplazándola en la ecuación 2, esto es:
[tex]x=7-3y[/tex] Ecuación 3
ahora reemplazamos la ecuación 3 en la ecuación 2:
[tex]2x+5y=12[/tex]
[tex]2(7-3y)+5y=12[/tex]
resolviendo tenemos:
[tex]14-6y+5y=12[/tex]
[tex]-6y+5y=12-14[/tex]
[tex]-y=-2[/tex]
[tex]y=2[/tex]
ahora reemplazamos este valor hallado de y en la ecuación 3:
[tex]x=7-3y[/tex] Ecuación 3
[tex]x=7-3(2)[/tex]
[tex]x=7-6[/tex]
[tex]x=1[/tex]
por lo tanto, las rectas se cortan en el punto ( 1 , 2 )
y este valor corresponde al punto ( h , k )
Ahora, la ecuación de la circunferencia tiene la siguiente forma:
[tex](x-h)^2+(y-k)^2=r^2[/tex]
reemplazando los valores hallados tenemos:
[tex](x-1)^2+(y-2)^2=r^2[/tex]
como el avión esta sobrevolando a 4 Km, este sera el valor del radio la circunferencia (si todos los datos están en Kilómetros), entonces:
[tex](x-1)^2+(y-2)^2=4^2[/tex]
[tex](x-1)^2+(y-2)^2=16[/tex]