Question

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem którego przekątna ma długość 8π i tworzy z bokiem tego prostokąta równym wysokości walca kąt 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego walca.

Answer 1

Odpowiedź:

Pole powierzchni całkowitej walca wynosi około 276,77 jednostek powierzchni.

Objętość walca wynosi około 185,91 jednostek objętości.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej i objętość walca, będziemy musieli wykorzystać informacje dotyczące prostokąta uzyskanego po rozwinięciu walca.

Długość przekątnej prostokąta, która jest równa obwodowi walca, wynosi 8π. Oznacza to, że obwód walca to 8π, czyli \(2πr\), gdzie \(r\) to promień walca.

\(2πr = 8π\)

Teraz możemy obliczyć promień walca:

\(r = \frac{8π}{2π} = 4\)

Teraz, skoro znamy promień walca, możemy obliczyć jego pole powierzchni bocznej, które jest równe obwodowi podstawy walca pomnożonemu przez jego wysokość. Wysokość walca to \(h\), a obwód podstawy to \(2πr\). Możemy więc zapisać:

\(S_{\text{bok}} = 2πrh = 2π \cdot 4 \cdot h\)

Teraz wiemy, że przekątna prostokąta tworzy z bokiem walca kąt 30 stopni. Możemy wykorzystać to, aby obliczyć wysokość walca \(h\). Kąt ten jest połową kąta pełnego (60 stopni), więc możemy użyć funkcji trygonometrycznej tangens:

\(\tan(30^\circ) = \frac{h}{r}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{4}\)

\(h = \frac{4}{\sqrt{3}}\)

Teraz możemy obliczyć pole powierzchni bocznej walca:

\(S_{\text{bok}} = 2π \cdot 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\)

Teraz obliczmy pole powierzchni podstawy walca:

\(S_{\text{pod}} = πr^2 = π \cdot 4^2 = 16π\)

Pole powierzchni całkowitej walca to suma powierzchni bocznej i powierzchni podstawy:

\(S_{\text{całk}} = S_{\text{bok}} + 2S_{\text{pod}}\)

\(S_{\text{całk}} = 2π \cdot 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} + 2 \cdot 16π\)

Teraz możemy obliczyć objętość walca, która wynosi \(V = S_{\text{pod}} \cdot h\):

\(V = 16π \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\)

Teraz obliczmy te wartości:

\(S_{\text{całk}} \approx 276,77\) (zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku)

\(V \approx 185,91\) (zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku)

Odpowiedzi:

Pole powierzchni całkowitej walca wynosi około 276,77 jednostek powierzchni.

Objętość walca wynosi około 185,91 jednostek objętości.