Question

Potrzebuje zrozumieć jak się za to zabrać w ogóle, będę wdzięczny za zrobienie i wytłumaczenie mniej więcej. Przykłady w załączniku!

Answer 1

3.13  0

3.14  [tex]\infty[/tex]

3.15  0

Obliczanie granic

Pamiętamy, że

[tex]\lim_{n \to \infty} x ^a=0[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\infty}{c} =\infty[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n^c}=0[/tex]

3.13

Najpierw skorzystamy z cechy potęgowania, [tex]x^a^+^b=x^a*x^b[/tex], zatem

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{4*3^n*3+2*4^n}{5*2^n+4^n*4^2}[/tex]

Wymnażamy to co możemy

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{4*3^n*3+2*4^n}{5*2^n+4^n*16}=\\\\\lim_{n \to \infty} \frac{36^n+8^n}{10^n+64^n}[/tex]

Teraz dzielimy przez największą liczbę w mianowniku, czyli [tex]64^n[/tex]

(Rozpiszę to oddzielnie:

[tex]\frac{36^n}{64^n}=(\frac{36}{64})^n=(\frac{9}{16} )^n[/tex]

[tex]\frac{8^n}{64^n}=(\frac{1}{8} )^n[/tex]

[tex]\frac{10^n}{64^n} =(\frac{5}{32} )^n[/tex])

Wówczas otrzymujemy

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{9}{16} )^n+(\frac{1}{8} )^n}{(\frac{5}{32} )^n+1}[/tex]

Teraz skorzystamy z zasady

[tex]\lim_{n \to a} (\frac{f(x)}{g(x)})= \lim_{n \to a} \frac{f(x)}{g(x)}[/tex], gdy [tex]\lim_{n \to a} g(x)\neq 0[/tex]

Zatem obliczamy granicę:

[tex]\lim_{n \to \infty}((\frac{9}{16} )^n+(\frac{1}{8} )^n)[/tex] =0

[tex]\lim_{n \to \infty} ((\frac{5}{32} )^n+1})=1[/tex]

Zatem nasza granica wynosi [tex]\frac{0}{1}=0[/tex]

3.14

Dzielimy przez [tex]2^n[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{3^n-\frac{n}{2^n} }{\frac{n^2}{2^n}+1 }[/tex]

Zatem obliczamy granicę:

[tex]\lim_{n \to \infty} (3^n-\frac{n}{2^n} )=\infty[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{n^2}{2^n} +1)=1[/tex]

Zatem nasza granica wynosi [tex]\frac{\infty}{1}= \infty}[/tex]

3.15

Dzielimy przez największą liczbę w mianowniku, czyli [tex]n^3[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{sin n}{n^3} }{1+\frac{5}{n^3} }[/tex]

Zatem obliczamy granicę:

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{sinn}{n^3}=0[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} (1+\frac{5}{n^3} )=1[/tex]

Zatem nasza granica wynosi [tex]\frac{0}{1}= 0[/tex]

#SPJ1