Jeżeli energia kinetyczna tego ciała wzrośnie dwukrotnie, wówczas prędkość tego ciała wyniesie: v₂ = 3√2 m/s, co oznacza, że jego prędkość wzrosła: n = v₂/v₁ = √2 razy.
Zad. 2
Prędkość ciała w chwili uderzenia o podłoże wyniesie: v = 28,014 m/s
Na wysokości hx = 10 m nad powierzchnią ziemi, prędkość ciała wyniesie: v(hx) = 24,26 m/s
Wyjaśnienie:
Zad. 1
Dane:
m = 2 kg
Ek₁ = 9 J
Ek₂ = 18 J
Szukane:
v₁ = ?
v₂ = ?
Rozwiązanie:
Energia kinetyczna ( z definicji) to połowa iloczynu masy ciała (m) i kwadratu jego prędkości (v): Ek = 1/2 * m * (v)²
W pierwszym przypadku, Ek₁ = 9 J.
Zatem uwzględniając definicyjną zależność na energię kinetyczną oraz podaną jej liczbową wartość, w skojarzeniu tych dwóch informacji otrzymamy:
9 J = 1/2 * 2 kg * (v₁)²
9 kg*m²/s² = 1 kg * (v₁)²
Z przekształcenia:
(v₁)² = 9 kg*m²/s²] / 1 kg
(v₁)² = 9 m²/s²
v₁ = √(9 m²/s²)
v₁ = 3 m/s
W drugim przypadku, wartość energii kinetycznej wzrasta dwukrotnie w stosunku do wartości energii kinetycznej z pierwszego przypadku, tzn. Ek₂ = 2 * Ek₁ = 2 * 9 J = 18 J
Zatem uwzględniając definicyjną zależność na energię kinetyczną oraz obliczoną jej aktualną liczbową wartość, w skojarzeniu tych dwóch informacji otrzymamy:
18 J = 1/2 * 2 kg * (v₂)²
18 kg*m²/s² = 1 kg * (v₂)²
Z przekształcenia:
(v₂)² = 18 kg*m²/s²] / 1 kg
(v₂)² = 18 m²/s²
v₂ = √(18 m²/s²)
v₂ = √(2*9 m²/s²)
v₂ = 3√2 m/s
Zad. 2
Dane:
m = 100 g = 0,1 kg
h = 40 m
hx = 10 m
Szukane:
vk(t) = ?
v(hx) = ?
Rozwiązanie:
Ciało umieszczone w ziemskim polu grawitacyjnym na dowolnej wysokości ponad powierzchnią Ziemi uzyskuje automatycznie energię potencjalną grawitacyjną wyrażającą się zależnością: Ep = m * g * h
Zatem, w oparciu o dane z treści zadania, ciało o masie (m) umieszczone na wysokości (h) uzyskuje energię potencjalną grawitacyjną równą:
Ep = 0,1 kg * 9,81 m/s² * 40 m = 39,24 J
Spadając następnie z wysokości (h), w myśl zasady zachowania energii mechanicznej, energia tego ciała ulega (w trakcie spadku) sukcesywnemu przekształceniu z energii potencjalnej grawitacyjnej (Ep) w energię kinetyczną prędkości (Ek) aż do całkowitej zamiany pierwotnej energii potencjalnej grawitacyjnej w energię kinetyczną prędkości w chwili uderzenie o podłoże. W chwili uderzania ciała o podłoże, nastąpi sytuacja: Ep = Ek; gdzie:
Ep = m * g * h
Ek = 1/2 * m * v²
Z przyrównania tych dwóch wielkości otrzymamy:
m * g * h = 1/2 * m * v² /(: m) - obustronne dzielenie przez (m)
g *h = 1/2 * v²
Z przekształcenia, będzie więc dalej:
v² = 2 * g * h
Stąd:
v = √(2 * g *h)
A po podstawieniu wartości:
v = √(2 * 9,81 * 40)
v = √(80 * 9,81)
v = √(784,8)
v = 28,014 m/s
Na wysokości hx = 10 m nad powierzchnią ziemi, ciało będzie miało prędkość, której wartość wyznaczymy również z zasady zachowania energii mechanicznej, tj. z zależności:
Ep(h) + Ek(h) = Ep(hx) + Ek(hx)
Ep(h) = m * g * h
Ek(h) = 0
Ep(hx) = m * g * hx
Ek(hx) = 1/2 * m * [v(hx)]²
Wobec tego:
m * g * h + 0 = m * g * hx + 1/2 * m * [v(hx)]² /(: m) - obustr. dziel. przez (m)
g * h = g * hx + 1/2 * [v(hx)]²
Po przekształceniu:
1/2 * [v(hx)]² = g * h - g * hx
1/2 * [v(hx)]² = g * (h - hx) /(* 2) - obustr. mnożenie przez (2)
Odpowiedź:
Zad. 1
Prędkość ciała: v₁ = 3 m/s
Jeżeli energia kinetyczna tego ciała wzrośnie dwukrotnie, wówczas prędkość tego ciała wyniesie: v₂ = 3√2 m/s, co oznacza, że jego prędkość wzrosła: n = v₂/v₁ = √2 razy.
Zad. 2
Prędkość ciała w chwili uderzenia o podłoże wyniesie: v = 28,014 m/s
Na wysokości hx = 10 m nad powierzchnią ziemi, prędkość ciała wyniesie: v(hx) = 24,26 m/s
Wyjaśnienie:
Zad. 1
Dane:
m = 2 kg
Ek₁ = 9 J
Ek₂ = 18 J
Szukane:
v₁ = ?
v₂ = ?
Rozwiązanie:
Energia kinetyczna ( z definicji) to połowa iloczynu masy ciała (m) i kwadratu jego prędkości (v): Ek = 1/2 * m * (v)²
W pierwszym przypadku, Ek₁ = 9 J.
Zatem uwzględniając definicyjną zależność na energię kinetyczną oraz podaną jej liczbową wartość, w skojarzeniu tych dwóch informacji otrzymamy:
9 J = 1/2 * 2 kg * (v₁)²
9 kg*m²/s² = 1 kg * (v₁)²
Z przekształcenia:
(v₁)² = 9 kg*m²/s²] / 1 kg
(v₁)² = 9 m²/s²
v₁ = √(9 m²/s²)
v₁ = 3 m/s
W drugim przypadku, wartość energii kinetycznej wzrasta dwukrotnie w stosunku do wartości energii kinetycznej z pierwszego przypadku, tzn. Ek₂ = 2 * Ek₁ = 2 * 9 J = 18 J
Zatem uwzględniając definicyjną zależność na energię kinetyczną oraz obliczoną jej aktualną liczbową wartość, w skojarzeniu tych dwóch informacji otrzymamy:
18 J = 1/2 * 2 kg * (v₂)²
18 kg*m²/s² = 1 kg * (v₂)²
Z przekształcenia:
(v₂)² = 18 kg*m²/s²] / 1 kg
(v₂)² = 18 m²/s²
v₂ = √(18 m²/s²)
v₂ = √(2*9 m²/s²)
v₂ = 3√2 m/s
Zad. 2
Dane:
m = 100 g = 0,1 kg
h = 40 m
hx = 10 m
Szukane:
vk(t) = ?
v(hx) = ?
Rozwiązanie:
Ciało umieszczone w ziemskim polu grawitacyjnym na dowolnej wysokości ponad powierzchnią Ziemi uzyskuje automatycznie energię potencjalną grawitacyjną wyrażającą się zależnością: Ep = m * g * h
Zatem, w oparciu o dane z treści zadania, ciało o masie (m) umieszczone na wysokości (h) uzyskuje energię potencjalną grawitacyjną równą:
Ep = 0,1 kg * 9,81 m/s² * 40 m = 39,24 J
Spadając następnie z wysokości (h), w myśl zasady zachowania energii mechanicznej, energia tego ciała ulega (w trakcie spadku) sukcesywnemu przekształceniu z energii potencjalnej grawitacyjnej (Ep) w energię kinetyczną prędkości (Ek) aż do całkowitej zamiany pierwotnej energii potencjalnej grawitacyjnej w energię kinetyczną prędkości w chwili uderzenie o podłoże. W chwili uderzania ciała o podłoże, nastąpi sytuacja: Ep = Ek; gdzie:
Ep = m * g * h
Ek = 1/2 * m * v²
Z przyrównania tych dwóch wielkości otrzymamy:
m * g * h = 1/2 * m * v² /(: m) - obustronne dzielenie przez (m)
g *h = 1/2 * v²
Z przekształcenia, będzie więc dalej:
v² = 2 * g * h
Stąd:
v = √(2 * g *h)
A po podstawieniu wartości:
v = √(2 * 9,81 * 40)
v = √(80 * 9,81)
v = √(784,8)
v = 28,014 m/s
Na wysokości hx = 10 m nad powierzchnią ziemi, ciało będzie miało prędkość, której wartość wyznaczymy również z zasady zachowania energii mechanicznej, tj. z zależności:
Ep(h) + Ek(h) = Ep(hx) + Ek(hx)
Ep(h) = m * g * h
Ek(h) = 0
Ep(hx) = m * g * hx
Ek(hx) = 1/2 * m * [v(hx)]²
Wobec tego:
m * g * h + 0 = m * g * hx + 1/2 * m * [v(hx)]² /(: m) - obustr. dziel. przez (m)
g * h = g * hx + 1/2 * [v(hx)]²
Po przekształceniu:
1/2 * [v(hx)]² = g * h - g * hx
1/2 * [v(hx)]² = g * (h - hx) /(* 2) - obustr. mnożenie przez (2)
[v(hx)]² = 2 * g * (h - hx)
Stąd:
v(hx) = √[2 * g * (h - hx)]
A po podstawieniu wartości:
v(hx) = √[2 * 9,81 * (40 - 10)]
v(hx) = √[2 * 9,81 * (30)]
v(hx) = √[60 * 9,81]
v(hx) = √(588,6)
v(hx) = 24,26 m/s