Question

potrzebuje ppomocy rozwiąze mi ktoś to zadanie ​

Answer 1

[tex]f(x)=4x^3+6x^2-6[/tex]

Policzmy pochodną funkcji.

[tex]f'(x)=4*3x^2+6*2x=12x^2+12x[/tex]

a)

Funkcja jest rosnąca tam, gdzie pochodna jest dodatnia.

[tex]f'(x) > 0\\12x^2+12x > 0\ |:12\\x^2+x > 0\\x(x+1) > 0\\x_1=0\\x_2=-1\\x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)[/tex]

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach [tex](-\infty,-1)[/tex] oraz [tex](0,+\infty)[/tex].

Funkcja jest malejąca tam, gdzie pochodna jest ujemna.

[tex]f'(x) < 0\\x\in(-1,0)[/tex]

Zatem funkcja jest malejąca w przedziale [tex](-1,0)[/tex].

Uwaga: Aby uzyskać maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca/malejąca, powyższe przedziały trzeba "podomykać".

b)

Ekstremów szukamy dla tych argumentów funkcji, dla których pochodna jest równa 0.

[tex]f'(x)=0\\x\in\{-1,0\}[/tex]

Ponieważ dla [tex]x=-1[/tex] pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc w [tex]x=-1[/tex] jest maksimum lokalne wynoszące:

[tex]f_{max}=f(-1)=4*(-1)^3+6*(-1)^2-6=-4+6-6=-4[/tex]

Ponieważ dla [tex]x=0[/tex] pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc w [tex]x=0[/tex] jest minimum lokalne wynoszące:

[tex]f_{min}=f(0)=4*0^3+6*0^2-6=-6[/tex]

c)

[tex]x\in\left < -3,2\right >[/tex]

Ponieważ [tex]-1[/tex] i [tex]0[/tex] należą do przedziału, więc [tex]f(-1)[/tex] i [tex]f(0)[/tex] są kandydatami na wartości najmniejszą i największą w tym przedziale.

Policzmy wartości funkcji na krańcach przedziału.

[tex]f(-3)=4*(-3)^3+6*(-3)^2-6=4*(-27)+6*9-6=-108+54-6=-60\\f(2)=4*2^3+6*2^2-6=4*8+6*4-6=32+24-6=50[/tex]

Zatem w przedziale [tex]\left < -3,2\right >[/tex] mamy:

[tex]f_{min}=-60\\f_{max}=50[/tex]