Question

Potrzebuje pilnie na teraz

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym |AB| = |AD| = 12

i |AE| = 30.1 Przecięto go płaszczyzną przechodzącą przez przekątną AC i środki

krawędzi EH i GH. Oblicz pole otrzymanego przekroju

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}P=54\sqrt{51}\end{array}[/tex]

Przekrój graniastosłupa.

Graniastosłup jest to bryła posiadająca dwie równoległe podstawy, które są przystającymi wielokątami. Ściany boczne są równoległobokami.

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw.

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, a co za tym idzie, ściany boczne są przystającymi prostokątami.

Przekrój bryły jest to figura płaska otrzymana z przecięcia bryły płaszczyzną.

Twierdzenie Pitagorasa:

Niech dany będzie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości [tex]a,b[/tex] oraz przeciwprostokątnej długości [tex]c[/tex]. Wówczas zachodzi równość:

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

ROZWIĄZANIE:

W treści zadania |AE| = 30.

Kreślimy rysunek poglądowy z oznaczeniami.

Widzimy, że otrzymanym przekrojem jest trapez równoramienny. Do obliczenia pola trapezu potrzebujemy długości podstaw i wysokości:

[tex]P=\dfrac{a+b}{2}\cdot h[/tex]

Podstawy trapezu ACIJ są przekątnymi kwadratów o bokach długości 12 i 6. Przekątna kwadratu o boku [tex]a[/tex] wyraża się wzorem:

[tex]d=a\sqrt2[/tex]

Stąd mamy:

[tex]a=12\sqrt2\\\\b=6\sqrt2[/tex]

Obliczamy długość ramienia [tex]d[/tex] trapezu korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]d^2=6^2+30^2\\d^2=36+900\\d^2=936\to d=\sqrt{936}\\\\d=\sqrt{36\cdot26}\\d=\sqrt{36}\cdot\sqrt{26}\\\\d=6\sqrt{26}[/tex]

Obliczamy długość odcinka [tex]x[/tex]:

[tex]x=\dfrac{12\sqrt2-6\sqrt2}{2}=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2[/tex]

Obliczamy wysokość trapezu korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]h^2+(3\sqrt2)^2=(6\sqrt{26})^2\\\\h^2+18=936\qquad|-18\\\\h^2=918\to h=\sqrt{918}\\\\h=\sqrt{9\cdot102}\\\\h=3\sqrt{102}[/tex]

Obliczamy pole przekroju (trapezu):

[tex]P=\dfrac{12\sqrt2+6\sqrt2}{2}\cdot3\sqrt{102}=\dfrac{18\sqrt2}{2}\cdot3\sqrt{102}=9\sqrt2\cdot3\sqrt{102}=27\sqrt{2\cdot2\cdot51}\\\\=27\sqrt{4\cdot51}=27\cdot\sqrt4\cdot\sqrt{51}=27\cdot2\cdot\sqrt{51}\\\\\boxed{P=54\sqrt{51}}[/tex]