Wykazać, że trójkąt jest prostokątny możemy na dwa sposoby:
Obliczyć długości jego boków (jak w a), a potem skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
Wyznaczyć współczynniki kierunkowe prostych, zawierających jego boki i pokazać, że dwa z nich spełniają warunek [tex]a_1\cdot a_2=-1[/tex] (warunek prostopadłości prostych).
Drugi sposób jest szybszy.
Korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, obliczamy współczynniki kierunkowe prostych: AC, AD i CD.
Odcinki i proste w układzie współrzędnych
a)
Aby wykazać, że trójkąt jest równoramienny wystarczy wskazać dwa jego boki jednakowej długości.
Mając dane współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć długości jego boków ze wzoru na długość odcinka o danych współrzędnych jego końców:
[tex]|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\|AB| = \sqrt{(3+4)^2+(-5+1)^2}= \sqrt{7^2+(-4)^2}= \sqrt{49+16}= \bold{\sqrt{65}}\\\\\\|AC| = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\\\|AC| = \sqrt{(2+4)^2+(3+1)^2}= \sqrt{6^2+4^2}= \sqrt{36+16}= \sqrt{52}\\\\\\|BC| = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\|BC| = \sqrt{(2-3)^2+(3+5)^2}= \sqrt{(-1)^2+8^2}= \sqrt{1+64}= \bold{\sqrt{65}}[/tex]
|AB| = |BC| więc trójkąt jest równoramienny
co należało wykazać.
b)
Wykazać, że trójkąt jest prostokątny możemy na dwa sposoby:
Drugi sposób jest szybszy.
Korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, obliczamy współczynniki kierunkowe prostych: AC, AD i CD.
AC:
[tex]a_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{3+1}{2+4}=\dfrac46=\dfrac23\\\\\\a_{AD}=\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\dfrac{2+1}{-6+4}=\dfrac3{-2}=-\dfrac32\\\\\\\\a_{AC}\cdot a_{AD}=\dfrac23\cdot\left(-\dfrac32\right)=-1\qquad\implies\qquad AC\perp AD[/tex]
Boki AC i AD są prostopadłe, więc trójkąt jest prostokątny
co należało wykazać.
{W trójkącie może być tylko jeden kąt prosty, więc skoro dwa pierwsze boki są prostopadłe, nie musimy obliczać współczynnika trzecie prostej.}