Question

Potrzebuje na dziś wieczorem

Answer 1

A)

Obie kulki stanowią wahadła matematyczne o okresie drgań równym:



Jak widać okres drgań nie zależy od początowego wychylenia (amplitudy) i jest taki sam dla obu wahadeł.

Różnica polega na tym, że w czasie równym jednemu okresowi wahadło 1 pokonuje kąt równy , a wahadło 2 - .

Obie kulki są w momencie rozpoczęcia doświadczenia w wychyleniu skrajnym, zatem dojście do położenia neutralnego zajmie im jedną czwartą okresu - czyli:



W tym czasie kulki pokonają kąt równy:
Kulka 1:
Kulka 2:

Zatem kulki zderzą się po czasie około 0,5 sekundy i zderzenie nastąpi w położeniu neutralnym (zaznaczonym na rysunku kreską przerywaną).

B)

W przypadku zderzenia niesprężystego możemy wyznaczyć prędkość układu połączonych po zderzeniu kulek z zasady zachowania pędu:



Przekształcając i uwzględniając że kulki mają jednakowe masy:






Z zależności trygonometrycznych (rysunek w załączeniu):


Możemy zatem wyznaczyć wysokości odpowiadające kątom i :





Stosunek wysokości wynosi:


Wiemy, ze kąty są małe => bliskie zera radianów, zatem możemy w przybliżeniu wyznaczyć ile wynosi stosunek wysokości. Mamy symbol nieoznaczony , przy obliczaniu granicy możemy zatem zastosować regułę de l'Hospitala:



Zatem dla małych kątów:

albo

Korzystając z tej wiedzy możemy wyznaczyć stosunek prędkości kulek w momencie zderzenia:



Widzimy, ze kulka 2 ma w momencie zderzenia dwukrotnie większą prędkość niż kulka 1.

Zatem wypadkowa prędkość układu (prędkości kulek przed zderzeniem mają przeciwne zwroty, prędkość jest większa - uwzględniamy to w wyliczeniu):



Zatem w przypadku zderzenia niesprężystego, zwrot prędkości układu ciał bezpośrednio po zderzeniu będzie zgodny z wektorem prędkości kulki 2, a wartość prędkości układu będzie połową prędkości kulki 1.

C)

Dla zderzenia doskonale sprężystego kulki o jednakowych masach, zgodnie ze wskazówką w zadaniu, wymienią się prędkościami.

Spowoduje to, że wysokość na którą wzniesie się kulka numer 1 będzie większa niż kulka numer 2. Wynika to z zasady zachowania energii:





Wiedząc, że po zderzeniu , stosunek wysokości na jaki wzniosą się kulki po zderzeniu wynosi:



Widzimy, że cykl ten będzie się powtarzał (zakładając idealne zderzenie sprężyste i brak innych oporów / strat energii) w nieskończoność, przy czym naprzemiennie większą amplitudę uzyskiwać będzie raz jedna kulka, raz druga.

D)

Przy zderzeniu sprężystym, jak już zauważyliśmy pod koniec poprzedniego punktu, zajdzie zjawisko okresowe. Okres tego zjawiska jest zależny od okresu drgań wahadeł -> będzie zachodzić po czasie, w którym kulki "cofając się" po zderzeniu z położenia neutralnego osiągną położenie skrajne, a następnie wrócą do położenia neutralnego, by się ponownie zderzyć. Łatwo zauważyć, że okres ten jest równy połowie okresu drgań wahadeł, które stanowią kulki.

Zatem:

E)

Obliczyliśmy już prędkość dla zderzenia niesprężystego, wyznaczmy jaki kąt osiągnie wahadło przy maksymalnym wyhyleniu. Jak już wyliczyliśmy wcześniej:



Wykorzystajmy zależność :



Zatem kulka wzniesie się na wysokość będącą jednej czwartej wysokości początkowej kulki 1.

W punkcie B wyprowadziliśmy zależność wysokości od kąta:



Znając kąt początkowego wychylenia kulki 1 i podstawiając do powyższego wyliczoną wartość wychylenia maksymalnego bedącego jedną czwartą , można obliczyć kąd wychylenia układu ciał.

W razie niejasności proszę o komentarze.

Answer 2

A)
Ustalmy najpierw ile wynoszą okresy drgań kulek. 
Dla kulki wychylonej o kąt  :

Dla kulki wychylonej o kąt  :

Wniosek :


Skoro okresy kulek trwają tyle samo, to po ćwierci okresu obie kulki znajdą się w położeniu równowagi (przerywana linia) i tam też się zderzą.
Czas po jakim to nastąpi (oznaczam go jako ) :


Możemy podstawić dane :


Zderzenie nastąpi po około pół sekundzie.
b) Zderzenie doskonale niesprężyste - kulki po zderzeniu będą się poruszać razem.
Zgodnie z zasadą zachowania pędu pęd kulek przed zderzeniem jest równy pędowi po zderzeniu. Żeby znać wartości pędów musimy najpierw znać ich prędkości. Dla obu kulek są to prędkości maksymalne, ponieważ podczas zderzenie kulki przechodziły przez położenie równowagi (w którym prędkość jest największa). Prędkości te są równe :


Pęd kulek przed zderzeniem :

Dodatkowo wiemy, że 
Zatem :


Pęd kulek po zderzeniu :


Zgodnie z zasadą zachowania pędu :


Po zderzeniu doskonale niesprężystym kulki zaczną drgać razem wychylając się o kąt :


Jeszcze jedna istotna sprawa. Tylko i wyłącznie dzięki temu, że kuli wychylono o mały kat możemy korzystać z takich prostych proporcji jak  oraz z wzorów dotyczących wahadła matematycznego tj. .

c) Zderzenie idealnie sprężyste - kulki odbiją się od siebie.
Zadanie podpowiada nam, że kulki wymienią się prędkościami. To bardzo łatwo udowodnić wykorzystując zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii. Nie zaszkodzi nam sobie to wyprowadzić.
Pęd i energia przed zderzeniem :


Pęd i energia po zderzeniu :






Teraz przynajmniej mamy pewność, że autor zadania się nie pomylił. Zatem po zderzeniu doskonale sprężystym kulki wymienią się prędkościami i kulka, która była odchylona o kąt  odchyli się teraz o kąt  i odwrotnie, kulka wychylona o kąt  wychyli się o kat . 

d) W zasadzie już to zrobiłem bodajże w podpunkcie B. Kulki będą drgały a ich okres będzie wynosił tyle ile wynosił czyli : 
Końcowy okres będzie wynosił tyle samo w przypadku obu zderzeń.
A w przypadku zderzeń sprężystych co 1 sekundę kulki będą się dodatkowo odbijać od siebie. 

e) Ten podpunkt, też już mamy załatwiony. W punkcie B obliczyłem, że kulki zaczną się wychylać o kąt .

Mam nadzieję, że pomogłem :)