ad a)Dziedzina funkcji, to zbiór tych wszystkich jej argumentów (w tym przypadku, tych wszystkich : x) dla których funkcja zachowuje sens matematyczny.
Zatem; D: x ∈ R
ad b)Miejsca zerowe funkcji, to takie wartości jej argumentów (tu: takie x) dla których funkcja (czyli: f(x) = x²-16) przyjmuje wartość równą 0.
Zatem, przekształcając zapis funkcji do innej postaci, a mianowicie:
f(x) = (x+4)*(x-4)
Funkcja f(x) = 0 ⇔ x+4 = 0 lub x-4 = 0
x+4 = 0 x-4 = 0
x = 0 - 4 x = 0 + 4
Stąd miejsca zerowe funkcji f(x), to: x₁ = - 4 i x₂ = 4
ad. c) Ady punkt należał do wykresu funkcji, współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie funkcji. Zatem:
A=(-1,-17) należy do wykresu funkcji f(x) = x²-16 ⇔ -17 =(?) = (-1)² - 16
-17 =(?) = 1 - 16
-17 ≠ -15
Wobec czego, punkt A nie należy do wykresu funkcji f(x).
ad. d) Wartość funkcji f(x) dla zadanej wartości argumentu x, to wartość wyrażenia: x²-16 (postaci funkcji) gdy za x wstawimy zadana jego wartość.
Stąd, dla x = -2 ⇒ f(-2) = (-2)² - 16 = 4 - 16 = - 12
ad. e) Aby znaleźć wartość argumentu, dla którego funkcja przyjmuje określoną wartość, przekształcamy równanie funkcji do postaci:
x = f(y)
Wobec tego, wartość funkcji f(x) wynosi 9 dla argumentu:
9 = x² - 16
9 + 16 = x²
x² = 25
x = -5 lub x = 5
ad. f) Współrzędne punktu P=(x,y) wspólnego: wykresu funkcji f(x) z osią OX znajdujemy, wstawiając do wzoru funkcji f(x) wartość f(x) = 0 gdyż, dla takiej współrzędnej, wykres dowolnej funkcji przecina oś OX.
Przypadek ten, to nic innego jak miejsca zerowe funkcji.
Zatem, punktami przecięcia wykresu funkcji f(x) z osią OX będą punkty:
P1 = (4, 0) oraz P2 = (-4, 0)
ad. g) Współrzędne punktu Q=(x,y) wspólnego: wykresu funkcji f(x) z osią OY znajdujemy, wstawiając do wzoru funkcji f(x) wartość argumentu x=0; gdyż, dla takiej współrzędnej, wykres dowolnej funkcji przecina oś OY.
Zatem:
f(0) = (0)² - 16 = 0 - 16 = -16
Stąd, współrzędne punktu Q wspólnego: wykresu funkcji f(x) i osi OY, to: Q=(0, -16)
ad. h) Wartość funkcji dla argumentu x = -1, to:
f(-1) = (-1)² - 16 = 1 - 16 = - 15
ad. i) Funkcja f(x) przyjmuje wartość równą - 13 dla argumentu (x), wyznaczonego jak w punkcie: ad. d), czyli:
Odpowiedź:
Patrz rozwiązania poszczególnych podpunktów.
Szczegółowe wyjaśnienie:
ad a) Dziedzina funkcji, to zbiór tych wszystkich jej argumentów (w tym przypadku, tych wszystkich : x) dla których funkcja zachowuje sens matematyczny.
Zatem; D: x ∈ R
ad b) Miejsca zerowe funkcji, to takie wartości jej argumentów (tu: takie x) dla których funkcja (czyli: f(x) = x²-16) przyjmuje wartość równą 0.
Zatem, przekształcając zapis funkcji do innej postaci, a mianowicie:
f(x) = (x+4)*(x-4)
Funkcja f(x) = 0 ⇔ x+4 = 0 lub x-4 = 0
x+4 = 0 x-4 = 0
x = 0 - 4 x = 0 + 4
Stąd miejsca zerowe funkcji f(x), to: x₁ = - 4 i x₂ = 4
ad. c) Ady punkt należał do wykresu funkcji, współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie funkcji. Zatem:
A=(-1,-17) należy do wykresu funkcji f(x) = x²-16 ⇔ -17 =(?) = (-1)² - 16
-17 =(?) = 1 - 16
-17 ≠ -15
Wobec czego, punkt A nie należy do wykresu funkcji f(x).
ad. d) Wartość funkcji f(x) dla zadanej wartości argumentu x, to wartość wyrażenia: x²-16 (postaci funkcji) gdy za x wstawimy zadana jego wartość.
Stąd, dla x = -2 ⇒ f(-2) = (-2)² - 16 = 4 - 16 = - 12
ad. e) Aby znaleźć wartość argumentu, dla którego funkcja przyjmuje określoną wartość, przekształcamy równanie funkcji do postaci:
x = f(y)
Wobec tego, wartość funkcji f(x) wynosi 9 dla argumentu:
9 = x² - 16
9 + 16 = x²
x² = 25
x = -5 lub x = 5
ad. f) Współrzędne punktu P=(x,y) wspólnego: wykresu funkcji f(x) z osią OX znajdujemy, wstawiając do wzoru funkcji f(x) wartość f(x) = 0 gdyż, dla takiej współrzędnej, wykres dowolnej funkcji przecina oś OX.
Przypadek ten, to nic innego jak miejsca zerowe funkcji.
Zatem, punktami przecięcia wykresu funkcji f(x) z osią OX będą punkty:
P1 = (4, 0) oraz P2 = (-4, 0)
ad. g) Współrzędne punktu Q=(x,y) wspólnego: wykresu funkcji f(x) z osią OY znajdujemy, wstawiając do wzoru funkcji f(x) wartość argumentu x=0; gdyż, dla takiej współrzędnej, wykres dowolnej funkcji przecina oś OY.
Zatem:
f(0) = (0)² - 16 = 0 - 16 = -16
Stąd, współrzędne punktu Q wspólnego: wykresu funkcji f(x) i osi OY, to: Q=(0, -16)
ad. h) Wartość funkcji dla argumentu x = -1, to:
f(-1) = (-1)² - 16 = 1 - 16 = - 15
ad. i) Funkcja f(x) przyjmuje wartość równą - 13 dla argumentu (x), wyznaczonego jak w punkcie: ad. d), czyli:
- 13 = x² - 16
x² = - 13 + 16
x² = 3
To: x₁ = √3 oraz x₂ = -√3