Question

Potrzebna szybka pomoc z tym zadaniem

Answer 1

[tex]|KL|=\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

Długość wektora

Jeśli mamy dwa punkty A([tex]x_a;y_a[/tex]) i B([tex]x_b;y_b[/tex]) i chcemy wyznaczyć długość wektora |AB| to korzystamy ze wzoru:

[tex]|AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}[/tex]

Mamy punkty

[tex]K(-\frac{1}{4};\frac{3}{8} )[/tex]

L[tex](0,25;-0.125)[/tex]=[tex]L(\frac{1}{4};-\frac{1}{8} )[/tex]

Podstawiamy je do wzoru

[tex]|KL|=\sqrt{(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} )^2+(\frac{3}{8}-\frac{-1}{8} )^2}[/tex]

Obliczamy

[tex]|KL|=\sqrt{(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} )^2+(\frac{3}{8}+\frac{1}{8} )^2}[/tex]

[tex]|KL|=\sqrt{(-\frac{2}{4} )^2+(\frac{4}{8} )^2}[/tex]

[tex]|KL|=\sqrt{\frac{4}{16} +\frac{16}{64} }[/tex]

Aby dodać do siebie ułamki, to musimy sprowadzić je do tego samego mianownika. Zatem mnożymy pierwszy ułamek przez 4 (sprowadzamy do mianownika 64).

[tex]|KL|=\sqrt{\frac{16}{64} +\frac{16}{64} }[/tex]

[tex]|KL|=\sqrt{\frac{32}{64} }[/tex]

[tex]|KL|=\frac{\sqrt{32} }{8} =\frac{\sqrt{2*16} }{8}=\frac{4\sqrt{2} }{8}[/tex]

Skracamy ten ułamek przez 4

[tex]|KL|=\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

Skoro punkt P dzieli wektor w stosunku 2:1, czyli mają długość

[tex]\frac{2}{2+1}*\frac{\sqrt{2} }{2}=\frac{2}{3} *\frac{\sqrt{2} }{2}=\frac{2\sqrt{2} }{6}=\frac{\sqrt{2} }{3}[/tex]

[tex]\frac{1}{2+1}*\frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{1}{3} *\frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{\sqrt{2} }{6}[/tex]

Zapiszmy równania dla długości KP i PL

[tex]|KP|=\sqrt{(-\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{3}{8}-y_p )^2}[/tex]

[tex]|PL|=\sqrt{(\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{1}{8}-y_p )^2}[/tex]

[tex]\left \{ {{|KP|=\sqrt{(-\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{3}{8}-y_p )^2}} \atop {|PL|=\sqrt{(\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{1}{8}-y_p )^2}}} \right.[/tex]

Wiemy, że [tex]|KP|=\frac{2}{3}KL=\frac{\sqrt{2} }{3}[/tex],  a [tex]|PL|=\frac{1}{3}KL=\frac{\sqrt{2} }{6}[/tex]

[tex]\left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{3} =\sqrt{(-\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{3}{8}-y_p )^2}} \atop {\frac{\sqrt{2} }{6} =\sqrt{(\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{1}{8}-y_p )^2}}} \right.[/tex]

Skoro są to długości odcinków, to możemy podnieść dane równości do kwadratu.

[tex]\left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{3} =(-\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{3}{8}-y_p )^2}} \atop {\frac{\sqrt{2} }{6} =(\frac{1}{4}-x_p )^2+(\frac{1}{8}-y_p )^2}}} \right.[/tex]

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i redukujemy wyrazy podobne

[tex]\left \{ {{\frac{\sqrt{2} }{3} =x^2+y^2+\frac{x}{2}-\frac{3}{4}y+\frac{13}{64} \atop {\frac{\sqrt{2} }{6} =x^2+y^2-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}+\frac{5}{64} }}} \right.[/tex]

Wyznaczam z pierwszego równania y