Question

Postać iloczynowa Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są -10 i 2, a jej wykres przechodzi przez punkt A = (-3, -8).

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed {~~y=\dfrac{8}{35} x^{2} +1\dfrac{29}{35} x-4\dfrac{4}{7} ~~}~~\Rightarrow[/tex]  wzór  szukanej funkcji kwadratowej

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystamy ze wzoru:

• [tex]y=a(x-x_{1} )(x-x_{2} )~~\Rightarrow[/tex]  postać  iloczynowia  funkcji kwadratowej gdy Δ ≥ 0⇒ funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe

Rozwiązanie :

Dane z treści zadania:

• [tex]x_{1} =-10~~\lor ~~x_{2} =2~~\Rightarrow[/tex]  miejsca zerowe szukanej funkcji kwadratowej
• [tex]A=(-3,-8)~~\land ~~A\in y~~\Rightarrow[/tex]   wykres szukanej  funkcji  kwadratowej  przechodzi przez  punkty A

Szukana:

• [tex]y=ax^{2} +bx+c~~\Rightarrow[/tex]  wzór szukanej funkcji kwadratowej  , postać ogólna
• [tex]y=a(x-x_{1} )(x-x_{2} )~~\Rightarrow[/tex]  postać  iloczynowia szukanej funkcji kwadratowej

Obliczamy :

[tex]y=a(x-x_{1} )(x-x_{2} )~~\land ~~x_{1} =-10~~\land~~x_{2} =2\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow \\\\y=a(x-(-10) )(x-2)\\\\y=a(x+10 )(x-2)~~\land ~~A\in y~~\land ~~A(-3,-8)\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow \\\\-8=a(-3+10)(-3-2)\\\\a\cdot 7\cdot (-5)=-8\\\\-35a=-8~~\mid \div (-35)\\\\\huge\boxed {~~a=\dfrac{8}{35} ~~}\\\\\\y=a(x+10)(x-2)~~\land ~~a=\dfrac{8}{35} \\\\~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow \\\\y=\frac{8}{35} (x^{2} -2x+10x-20)\\\\y=\frac{8}{35} (x^{2} +8x-20)\\[/tex]

[tex]y=\dfrac{8}{35} x^{2} +\dfrac{8}{35} \cdot 8x-\dfrac{8}{35} \cdot 20\\\\y=\dfrac{8}{35} x^{2} +\dfrac{64}{35} x-\dfrac{160}{35} \\\\y=\dfrac{8}{35} x^{2} +1\dfrac{29}{35} x-4\dfrac{20}{35} \\\\\huge\boxed {~~y=\dfrac{8}{35} x^{2} +1\dfrac{29}{35} x-4\dfrac{4}{7} ~~}[/tex]