1) Kiedy po podstawieniu x, w którym liczymy granicę, mamy symbol nieoznaczony, np. [tex]\frac{0}{0}[/tex], to musimy przekształcić wyrażenie tak, aby ten symbol zniknął. Tak będzie w podpunktach a i c.
2) Kiedy po podstawieniu x, w którym liczymy granicę, mamy symbol [tex]\frac{a}{0},\ a\neq 0[/tex], to musimy ustalić, po jakich wartościach (dodatnich czy ujemnych) dążymy do tej wartości x. Tak będzie w podpunkcie b.
3) W podpunktach a i c skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Wskazówki:
1) Kiedy po podstawieniu x, w którym liczymy granicę, mamy symbol nieoznaczony, np. [tex]\frac{0}{0}[/tex], to musimy przekształcić wyrażenie tak, aby ten symbol zniknął. Tak będzie w podpunktach a i c.
2) Kiedy po podstawieniu x, w którym liczymy granicę, mamy symbol [tex]\frac{a}{0},\ a\neq 0[/tex], to musimy ustalić, po jakich wartościach (dodatnich czy ujemnych) dążymy do tej wartości x. Tak będzie w podpunkcie b.
3) W podpunktach a i c skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
a)
[tex]\lim_{x \to-4} \frac{x^2-16}{x+4}=\left[\frac{0}{0}\right]= \lim_{x \to-4} \frac{(x-4)(x+4)}{x+4}= \lim_{x \to-4} (x-4)=-4-4=-8[/tex]
b)
[tex]\lim_{x \to-3} \frac{-4}{|x+3|}=\left[\frac{-4}{0^+}\right]=-\infty[/tex]
Dla x mniejszych od -3 wyrażenie [tex]|x+3|[/tex] jest dodatnie, dlatego dąży do [tex]0^+[/tex].
c)
[tex]\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt x)^2-1}{\sqrt x-1}= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}{\sqrt x-1}=\\=\lim_{x \to 1} (\sqrt x+1)}=\sqrt1+1=2[/tex]