Question

Poproszę o pomoc z tymi dwoma przykładami z matematyki, temat nierówności wykładnicze.

Answer 1

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Odpowiedź:

a)  [tex]2^{1 + 6 + 11 + ... + ( 5 n - 4)}[/tex]  ≤  64²                     n ∈ [tex]N_+[/tex]

1 + 6 + 11 + (  5 n - 4 ) = [tex]S_n[/tex]

[tex]a_1 = 1[/tex]    r   = 5                

więc mamy ciąg arytmetyczny ( [tex]a_n[/tex] )

[tex]a_n = a_ 1 + ( n - 1)*r = 1 + ( n -1)*5 = 1 + 5 n - 5 = 5 n - 4\\64^2 = ( 2^6)^2 = 2^{12}[/tex]

[tex]S_n = 0,5*( a_1 + a_n)*n = 0,5*(1 + 5 n -4 )*n = 0,5*(5 n - 3)*n[/tex]

zatem  [tex]S_n[/tex]  ≤  12

0,5*( 5 n - 3)*n  ≤  12    / * 2

5 n² -  3 n  ≤ 24

5 n² - 3 n - 24  ≤  0

Δ =  9 - 4*5*(-24) = 9 + 480 = 489

√Δ ≈ 22,1

[tex]n_1 = \frac{3 - 22,1}{10} < 0[/tex]                       [tex]n_2[/tex]  ≈  [tex]\frac{3 + 22,1}{10} = 2,51[/tex]

n <  2,51

n = 1   lub   n = 2

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b )

L = ([tex]\frac{1}{6} )^{2 + 5 + 8 + 11 + ... + 3 n - 1}[/tex]

więc

2 + 5 + 8 + 11 + ... + 3 n - 1 = [tex]S_n[/tex]

[tex]a_1 = 2[/tex]     r  =  3

więc

[tex]a_n = a_ 1 + ( n - 1)*r = 2 + ( n - 1)*3 = 2 + 3 n - 3 = 3 n - 1[/tex]

Mamy ciąg  arytmetyczny ( [tex]a_n)[/tex], gdzie  [tex]a_1 = 2[/tex]       r =  3      [tex]a_n = 3 n - 1[/tex]

zatem [tex]S_n = 0,5*( a_1 + a_n)*n = 0,5*( 2 + 3 n - 1)*n = 0,5*( 3 n + 1)*n = 1,5 n^2 + 0,5 n[/tex]

[tex]( \frac{1}{36} )^{6n} = [ (\frac{1}{6})^2]^{6 n} = ( \frac{1}{6} )^{12 n}[/tex]

Mamy

( [tex]\frac{1}{6} )^{1,5 n^2 + 0,5 n}[/tex]   ≥  ( [tex]\frac{1}{6} )^{12 n}[/tex]

1,5 n² + 0,5 n  ≤  12 n

1,5 n² - 11,5 n  ≤ 0  / *  2

3 n² - 23 n ≤  0

n*( 3 n - 23 )  ≤  0

[tex]n_1 = 0[/tex]        [tex]n_2 = \frac{23}{3} = 7 \frac{2}{3}[/tex]

n ∈ ( 0,  7 [tex]\frac{2}{3} )[/tex] ∩ [tex]N_+ = {[/tex]  {  1,2,3,4,5,6,7 }

Odp.  n  ∈ {  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ]

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Szczegółowe wyjaśnienie: