UWAGA: Zadanie rozwiązano przy założeniu poprawności danych ujętych w treści zadania. Wątpliwość dotyczy wartości drogi S(t) na której odbyła się zmiana prędkości pociągu.
Czas, w którym pociąg przyśpieszał wynosił:
t₁ = 2,34 s
Przyśpieszenie pociągu na CMK wynosiło:
a = 11,54 m/s²
Wyjaśnienie:
Dane:
v₀ = 82,8 km/h = 23 m/s
v₁ = 180 km/h = 50 m/s
S(t) = 85,5 m
Szukane:
t₁ = ?
Rozwiązanie:
Ruch pociągu na CMK to ruch jednostajnie przyspieszony z prędkością początkową. Dla takiego rodzaju ruchu:
- droga S(t) wyraża się zależnością:
S(t) = v₀*Δt + 1/2 * a * (Δt)²
- przyśpieszenie w tym ruchu wyraża się z kolei zależnością:
a = Δv/Δt
gdzie:
Δv = v₁ - v₀
Δt = t₁ - t₀ = t₁ - 0 = t₁ a to dlatego, że pomiar zmian prędkości
odbywał się od tzw. czasu odniesienia,
który zwykle przyjmuje się jako t₀ = 0 s
Zatem:
- droga: S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * a * (t₁)²
- przyspieszenie: a = (v₁ - v₀) / t₁
Łącząc z sobą te dwa wyrażenia otrzymamy:
S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * [(v₁ - v₀)/t₁] * (t₁)²
S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * [(v₁ - v₀) * t₁]
S(t) = v₀*t₁ + 1/2*v₁*t₁ - 1/2*v₀*t₁
S(t) = [2*v₀*t₁]/2 + 1/2*v₁*t₁ - 1/2*v₀*t₁
S(t) = [2*v₀*t₁]/2 - 1/2*v₀*t₁ + 1/2*v₁*t₁
S(t) =[2*v₀*t₁ - v₀*t₁]/2 + (v₁*t₁)/2
S(t) = (v₀*t₁ + v₁*t₁)/2
S(t) = t₁*(v₀ + v₁)/2
Stąd, po przekształceniu:
t₁ = [2*S(t)]/(v₀ + v₁)
Po podstawieniu wartości:
t₁ = [2 * 85,5]/(23 + 50)
t₁ = (171)/(73)
t₁ = 2,34 s
Mając wyznaczony czas przyśpieszania, wracamy do zależności na przyspieszenie, i po podstawieniu wartości otrzymujemy:
Odpowiedź:
UWAGA: Zadanie rozwiązano przy założeniu poprawności danych ujętych w treści zadania. Wątpliwość dotyczy wartości drogi S(t) na której odbyła się zmiana prędkości pociągu.
Czas, w którym pociąg przyśpieszał wynosił:
t₁ = 2,34 s
Przyśpieszenie pociągu na CMK wynosiło:
a = 11,54 m/s²
Wyjaśnienie:
Dane:
v₀ = 82,8 km/h = 23 m/s
v₁ = 180 km/h = 50 m/s
S(t) = 85,5 m
Szukane:
t₁ = ?
Rozwiązanie:
Ruch pociągu na CMK to ruch jednostajnie przyspieszony z prędkością początkową. Dla takiego rodzaju ruchu:
- droga S(t) wyraża się zależnością:
S(t) = v₀*Δt + 1/2 * a * (Δt)²
- przyśpieszenie w tym ruchu wyraża się z kolei zależnością:
a = Δv/Δt
gdzie:
Δv = v₁ - v₀
Δt = t₁ - t₀ = t₁ - 0 = t₁ a to dlatego, że pomiar zmian prędkości
odbywał się od tzw. czasu odniesienia,
który zwykle przyjmuje się jako t₀ = 0 s
Zatem:
- droga: S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * a * (t₁)²
- przyspieszenie: a = (v₁ - v₀) / t₁
Łącząc z sobą te dwa wyrażenia otrzymamy:
S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * [(v₁ - v₀)/t₁] * (t₁)²
S(t) = v₀*t₁ + 1/2 * [(v₁ - v₀) * t₁]
S(t) = v₀*t₁ + 1/2*v₁*t₁ - 1/2*v₀*t₁
S(t) = [2*v₀*t₁]/2 + 1/2*v₁*t₁ - 1/2*v₀*t₁
S(t) = [2*v₀*t₁]/2 - 1/2*v₀*t₁ + 1/2*v₁*t₁
S(t) =[2*v₀*t₁ - v₀*t₁]/2 + (v₁*t₁)/2
S(t) = (v₀*t₁ + v₁*t₁)/2
S(t) = t₁*(v₀ + v₁)/2
Stąd, po przekształceniu:
t₁ = [2*S(t)]/(v₀ + v₁)
Po podstawieniu wartości:
t₁ = [2 * 85,5]/(23 + 50)
t₁ = (171)/(73)
t₁ = 2,34 s
Mając wyznaczony czas przyśpieszania, wracamy do zależności na przyspieszenie, i po podstawieniu wartości otrzymujemy:
a = (v₁ - v₀) / t₁
a = (50 m/s - 23 m/s) / 2,34 s
a = (27 m/s) / 2,34 s
a = 11,54 m/s²