Sześcian o krawędzi długości 1 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki C i D₁ oraz środek krawędzi AD (rysunek obok). Oblicz długości boków trójkąta CD₁E oraz cosinus kąta położonego naprzeciwko najdłuższego boku tego trójkąta.
Rozwiązanie:
Krawędź CD₁ jest przekątną ściany tego sześcianu. Obliczamy jej długość:
[tex]a=|CD_1|=1\cdot \sqrt2=\sqrt2[/tex]
Krawędź D₁E jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych DD₁ (długości krawędzi sześcianu) oraz DE (połowa długości krawędzi sześcianu). Długość krawędzi D₁E obliczamy z Twierdzenia Pitagorasa:
Krawędź EC jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych DE (połowa długości krawędzi sześcianu) i DC (długość krawędzi sześcianu). Takie obliczenia już zrobiliśmy, więc:
[tex]|EC|=|D_1E|=b=\dfrac{\sqrt5}2[/tex]
Mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym. Wyznaczamy dłuższą krawędź:
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{cos\angle CED_1=\dfrac15}[/tex]
Zadanie:
Sześcian o krawędzi długości 1 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki C i D₁ oraz środek krawędzi AD (rysunek obok). Oblicz długości boków trójkąta CD₁E oraz cosinus kąta położonego naprzeciwko najdłuższego boku tego trójkąta.
Rozwiązanie:
Krawędź CD₁ jest przekątną ściany tego sześcianu. Obliczamy jej długość:
[tex]a=|CD_1|=1\cdot \sqrt2=\sqrt2[/tex]
Krawędź D₁E jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych DD₁ (długości krawędzi sześcianu) oraz DE (połowa długości krawędzi sześcianu). Długość krawędzi D₁E obliczamy z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]b=|D_1E|\\\\b^2=|DE|^2+|DD_1|^2\\\\b^2=\left(\dfrac12\cdot 1\right)^2+1^2\\\\b^2=\dfrac14+1\\\\b^2=1\dfrac14\\\\b^2=\dfrac54\\\\b=\sqrt{\dfrac{5}4}\\\\b=\dfrac{\sqrt5}2[/tex]
Krawędź EC jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych DE (połowa długości krawędzi sześcianu) i DC (długość krawędzi sześcianu). Takie obliczenia już zrobiliśmy, więc:
[tex]|EC|=|D_1E|=b=\dfrac{\sqrt5}2[/tex]
Mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym. Wyznaczamy dłuższą krawędź:
[tex]\sqrt2 \: ... \left\: \dfrac{\sqrt5}2 \right| ^2\\\\2 \: ... \: \dfrac{5}4\\\\2 > 1\dfrac14 \to \sqrt2 > \dfrac{\sqrt5}2[/tex]
Wyznaczamy cosinus kąta naprzeciwko najdłuższego boku, czyli cosinus ∡CED₁. W tym wypadku stosujemy Twierdzenie Cosinusów:
[tex]\alpha=\angle CED_1[/tex]
[tex](\sqrt2)^2=\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2-2\cdot\dfrac{\sqrt5}2\cdot\dfrac{\sqrt5}2\cdot cos\alpha[/tex]
[tex](\sqrt2)^2=2\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2-2\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2\cdot cos\alpha\\2=2\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2(1-cos\alpha) |:2\\\\1=\left(\dfrac{\sqrt5}2\right)^2(1-cos\alpha)\\1=\dfrac54(1-cos\alpha) |\cdot\dfrac45\\\dfrac45=1-cos\alpha |-1\\\\\dfrac45-\dfrac55=-cos\alpha\\-\dfrac15=-cos\alpha |\cdot(-1)\\\\\boxed{cos\alpha=\dfrac15}[/tex]