Question

Pomocy pole powierzchni bocznej do dziś ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy większe od pola podstawy oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}\text{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt6}{2}\end{array}[/tex]

Stereometria - ostrosłup.

Ostrosłup jest to bryła posiadająca jedną podstawę, która jest wielokątem. Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłup prosty to ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości. Co za tym idzie, ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.

Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny.

ROZWIĄZANIE:

Kreślimy rysunek poglądowy.

Dane:

[tex]P_b=2P_p\to4\cdot\dfrac{ah}{2}=2a^2\\\\2ah=2a^2\qquad|:2a\\\\h=a[/tex]

Wiemy, że:

[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{H}{\frac{d}{2}}[/tex]

Obliczamy długość [tex]H[/tex] korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]H^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2\\\\H^2+\dfrac{a^2}{4}=a^2\qquad|-\dfrac{a^2}{4}\\\\H^2=\dfrac{3a^2}{4}\to H=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}\\\\H=\dfrac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt4}\\\\\boxed{H=\dfrac{a\sqrt3}{2}}[/tex]

W podstawie mamy kwadrat. Obliczamy długość przekątnej kwadratu korzystając ze wzoru:

[tex]d=a\sqrt2[/tex]

Obliczamy szukaną wartość tangensa:

[tex]\text{tg}\alpha=\dfrac{\frac{a\sqrt3}{2}}{\frac{a\sqrt2}{2}}=\dfrac{a\!\!\!\!\diagup^1\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1}{a\!\!\!\!\diagup_1\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\\boxed{\text{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt6}{2}}[/tex]