6.5) Możemy wyznaczyć współczynniki b i c korzystając z faktu, że parabola przechodząca przez dwa punkty ma równanie postaci:
f(x) = a(x-x1)(x-x2),
gdzie x1 i x2 to współrzędne punktów, przez które przechodzi parabola. W tym przypadku mamy x1 = 0, y1 = 2 i x2 = -1, y2 = 14. Wstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:
f(x) = a(x-0)(x+1) = ax^2 + ax.
Teraz wystarczy wyznaczyć wartość a. Aby to zrobić, możemy skorzystać z punktu A, przez który również przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(0) = 2,
czyli
a0^2 + a0 = 2,
czyli
a = 2.
Mając już wartość a, możemy teraz wyznaczyć współczynniki b i c w równaniu paraboli f(x) = 4x^2 + bx + c. W tym celu podstawiamy wartość a = 2 do równania ogólnego funkcji kwadratowej, co daje:
f(x) = 2x^2 + 2x.
Aby wyznaczyć współczynnik b, możemy skorzystać z punktu B, przez który przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(-1) = 14,
czyli
2*(-1)^2 + 2*(-1) = 14,
czyli
-2 + (-2) = 14,
czyli
b = -18.
Współczynnik c możemy wyznaczyć, podstawiając wartości a i b do równania ogólnego funkcji kwadratowej:
f(x) = 2x^2 - 18x + c.
Aby znaleźć wartość c, możemy skorzystać z punktu A, przez który przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(0) = 2,
czyli
20^2 - 180 + c = 2,
czyli
c = 2.
6.6) Jeśli prosta x = -3 jest osią symetrii paraboli y = ax^2 + bx - 4, to znaczy, że punkt symetrii paraboli leży na tej prostej. Z prostej x = -3 wynika, że x = -3 dla każdego punktu na tej prostej, więc punkt symetrii ma współrzędne (-3, y). Ponieważ punkt A należy do paraboli, to musi również należeć do jej osi symetrii. Zatem punkt symetrii (-3, y) jest środkiem odcinka łączącego punkt A z rzutem tego punktu na prostą x = -3.
Rzut punktu A na prostą x = -3 ma współrzędne (-3, 4), ponieważ leży na prostej x = -3. Odcinek łączący punkt A z punktem (-3, 4) jest prostopadły do prostej x = -3, więc ma równanie y - 4 = 0 * (x - (-3)), czyli y = 4.
Środek tego odcinka ma zatem współrzędne (-3, 4), czyli jest to punkt symetrii paraboli. Zatem równanie paraboli ma postać:
y = a(x+3)^2 + 4.
Ponieważ punkt A należy do paraboli, to jego współrzędne spełniają to równanie, czyli:
4 = a(-2+3)^2 + 4,
czyli
0 = a.
Wartość współczynnika a musi zatem wynosić zero, a równanie paraboli upraszcza się do postaci:
y = bx - 4.
Znowu możemy skorzystać z faktu, że punkt A należy do paraboli, zatem jego współrzędne spełniają to równanie, czyli:
4 = b*(-2) - 4,
czyli
8 = -2b,
czyli
b = -4.
Ostatecznie równanie paraboli ma postać:
y = -4x - 4.
6.7) Współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = ax^2 + bx + c to (-b/2a, c - b^2/4a). W tym przypadku mamy równanie y = -3x^2 + bx + c oraz punkt B o współrzędnych (1, 0), które jest wierzchołkiem paraboli. Oznacza to, że:
-1 = -31^2 + b1 + c, ponieważ x-współrzędna wierzchołka to 1, a y-współrzędna to 0.
Z tej równości wynika, że:
b + c = 2.
Aby wyznaczyć brakujące współczynniki, potrzebujemy kolejnego punktu na paraboli. Możemy wykorzystać informację, że paraobola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Oznacza to, że jeśli punkt (a, y) leży na paraboli, to punkt (2a-1, y) również na niej leży.
Możemy wybrać dowolną wartość a, ale żeby uprościć obliczenia, wybierzmy a = 0. Wtedy punkt (0, c) należy do paraboli, a punkt (2*0-1, c) = (-1, c) też należy do niej. Zatem:
-30^2 + b0 + c = c,
oraz
-3*(-1)^2 + b*(-1) + c = c.
To prowadzi do równania:
3 = b - c,
czyli
b = c + 3.
Możemy teraz podstawić to wyrażenie dla b w równaniu b + c = 2:
c + 3 + c = 2,
czyli
2c = -1,
czyli
c = -1/2.
Mając wartość c, możemy wyznaczyć wartość b, używając wyrażenia b = c + 3:
b = -1/2 + 3 = 5/2.
Ostatecznie, równanie paraboli to y = -3x^2 + (5/2)x - 1/2.
6.11) Z uwagi na to, że oś symetrii paraboli jest równoległa do osi y i jest dana równaniem x = 2, to punkt przecięcia paraboli z tą prostą musi mieć współrzędną x równą 2. Oznacza to, że aby wyznaczyć współczynniki a, b i c, musimy najpierw znaleźć wartość y dla x = 2.
Zauważmy, że punkt (0, 1) należy do paraboli, więc:
c = 1.
Ponadto, parabola jest funkcją kwadratową, więc jej punkt przecięcia z osią y (czyli dla x = 0) to (0, c), czyli (0, 1). Oznacza to, że:
b = 0.
Aby wyznaczyć wartość a, możemy wykorzystać punkt (1, -2), który też należy do paraboli:
Odpowiedź:
6.5) Możemy wyznaczyć współczynniki b i c korzystając z faktu, że parabola przechodząca przez dwa punkty ma równanie postaci:
f(x) = a(x-x1)(x-x2),
gdzie x1 i x2 to współrzędne punktów, przez które przechodzi parabola. W tym przypadku mamy x1 = 0, y1 = 2 i x2 = -1, y2 = 14. Wstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:
f(x) = a(x-0)(x+1) = ax^2 + ax.
Teraz wystarczy wyznaczyć wartość a. Aby to zrobić, możemy skorzystać z punktu A, przez który również przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(0) = 2,
czyli
a0^2 + a0 = 2,
czyli
a = 2.
Mając już wartość a, możemy teraz wyznaczyć współczynniki b i c w równaniu paraboli f(x) = 4x^2 + bx + c. W tym celu podstawiamy wartość a = 2 do równania ogólnego funkcji kwadratowej, co daje:
f(x) = 2x^2 + 2x.
Aby wyznaczyć współczynnik b, możemy skorzystać z punktu B, przez który przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(-1) = 14,
czyli
2*(-1)^2 + 2*(-1) = 14,
czyli
-2 + (-2) = 14,
czyli
b = -18.
Współczynnik c możemy wyznaczyć, podstawiając wartości a i b do równania ogólnego funkcji kwadratowej:
f(x) = 2x^2 - 18x + c.
Aby znaleźć wartość c, możemy skorzystać z punktu A, przez który przechodzi parabola. Zatem mamy:
f(0) = 2,
czyli
20^2 - 180 + c = 2,
czyli
c = 2.
6.6) Jeśli prosta x = -3 jest osią symetrii paraboli y = ax^2 + bx - 4, to znaczy, że punkt symetrii paraboli leży na tej prostej. Z prostej x = -3 wynika, że x = -3 dla każdego punktu na tej prostej, więc punkt symetrii ma współrzędne (-3, y). Ponieważ punkt A należy do paraboli, to musi również należeć do jej osi symetrii. Zatem punkt symetrii (-3, y) jest środkiem odcinka łączącego punkt A z rzutem tego punktu na prostą x = -3.
Rzut punktu A na prostą x = -3 ma współrzędne (-3, 4), ponieważ leży na prostej x = -3. Odcinek łączący punkt A z punktem (-3, 4) jest prostopadły do prostej x = -3, więc ma równanie y - 4 = 0 * (x - (-3)), czyli y = 4.
Środek tego odcinka ma zatem współrzędne (-3, 4), czyli jest to punkt symetrii paraboli. Zatem równanie paraboli ma postać:
y = a(x+3)^2 + 4.
Ponieważ punkt A należy do paraboli, to jego współrzędne spełniają to równanie, czyli:
4 = a(-2+3)^2 + 4,
czyli
0 = a.
Wartość współczynnika a musi zatem wynosić zero, a równanie paraboli upraszcza się do postaci:
y = bx - 4.
Znowu możemy skorzystać z faktu, że punkt A należy do paraboli, zatem jego współrzędne spełniają to równanie, czyli:
4 = b*(-2) - 4,
czyli
8 = -2b,
czyli
b = -4.
Ostatecznie równanie paraboli ma postać:
y = -4x - 4.
6.7) Współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = ax^2 + bx + c to (-b/2a, c - b^2/4a). W tym przypadku mamy równanie y = -3x^2 + bx + c oraz punkt B o współrzędnych (1, 0), które jest wierzchołkiem paraboli. Oznacza to, że:
-1 = -31^2 + b1 + c, ponieważ x-współrzędna wierzchołka to 1, a y-współrzędna to 0.
Z tej równości wynika, że:
b + c = 2.
Aby wyznaczyć brakujące współczynniki, potrzebujemy kolejnego punktu na paraboli. Możemy wykorzystać informację, że paraobola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Oznacza to, że jeśli punkt (a, y) leży na paraboli, to punkt (2a-1, y) również na niej leży.
Możemy wybrać dowolną wartość a, ale żeby uprościć obliczenia, wybierzmy a = 0. Wtedy punkt (0, c) należy do paraboli, a punkt (2*0-1, c) = (-1, c) też należy do niej. Zatem:
-30^2 + b0 + c = c,
oraz
-3*(-1)^2 + b*(-1) + c = c.
To prowadzi do równania:
3 = b - c,
czyli
b = c + 3.
Możemy teraz podstawić to wyrażenie dla b w równaniu b + c = 2:
c + 3 + c = 2,
czyli
2c = -1,
czyli
c = -1/2.
Mając wartość c, możemy wyznaczyć wartość b, używając wyrażenia b = c + 3:
b = -1/2 + 3 = 5/2.
Ostatecznie, równanie paraboli to y = -3x^2 + (5/2)x - 1/2.
6.11) Z uwagi na to, że oś symetrii paraboli jest równoległa do osi y i jest dana równaniem x = 2, to punkt przecięcia paraboli z tą prostą musi mieć współrzędną x równą 2. Oznacza to, że aby wyznaczyć współczynniki a, b i c, musimy najpierw znaleźć wartość y dla x = 2.
Zauważmy, że punkt (0, 1) należy do paraboli, więc:
c = 1.
Ponadto, parabola jest funkcją kwadratową, więc jej punkt przecięcia z osią y (czyli dla x = 0) to (0, c), czyli (0, 1). Oznacza to, że:
b = 0.
Aby wyznaczyć wartość a, możemy wykorzystać punkt (1, -2), który też należy do paraboli:
-2 = a1^2 + b1 + c
-2 = a + 1
Stąd wynika, że:
a = -3.
Ostatecznie, równanie poszukiwanej paraboli to:
y = -3x^2 + 1.
Szczegółowe wyjaśnienie: