Punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego dzieli te wysokości na odcinki w stosunku 2:1 począwszy od wierzchołka trójkąta.
Twierdzenie Cosinusów
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta pomiędzy nimi.
[tex]\huge\boxed{c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma}[/tex]
Rozwiązanie:
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzy bocznej równej 10, która tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.
Oznacza to, że krawędź boczna wraz z wysokością ostrosłupa oraz dłuższą częścią wysokości podstawy tworzą trójkąt prostokątny.
[tex]b=10\\a=\:?\\h_p=\:?\\\delta=60^\circ[/tex]
Korzystając z funkcji sinus kąta 60° obliczymy wysokość tego ostrosłupa:
Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów równoramiennych, w których podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa, a ramieniem - krawędź boczna ostrosłupa.
O trójkącie równoramiennym wiemy, że wysokość poprowadzona na podstawę dzieli tę podstawę na dwie równe części, zatem wysokość ściany bocznej obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
Aby wyznaczyć miarę kąta między kolejnymi krawędziami bocznymi ostrosłupa należy zauważyć, że kąty te są równe i są kątem pomiędzy ramionami ściany bocznej (trójkąta równoramiennego o podstawie 5√3 i ramieniu 10).
Wyznaczamy miarę tego kąta korzystając z Twierdzenia Cosinusów:
Verified answer
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{lll}a)&V=93\dfrac34[j^3],&P_c=\dfrac{75(\sqrt3+\sqrt{39})}4[j^2]\\\\b)&\alpha\approx 51^\circ\end{array}}[/tex]
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ostrosłup prawidłowy trójkątny to taki ostrosłup, w podstawie którego znajduje się trójkąt równoboczny.
Wzór na pole podstawy tego ostrosłupa to:
[tex]\huge\boxed{P_p_\triangle=\dfrac{a^2\sqrt3}4}[/tex]
Wzór na wysokość podstawy:
[tex]\huge\boxed{h_p_\triangle=\dfrac{a\sqrt3}2}[/tex]
Punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego dzieli te wysokości na odcinki w stosunku 2:1 począwszy od wierzchołka trójkąta.
Twierdzenie Cosinusów
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta pomiędzy nimi.
[tex]\huge\boxed{c^2=a^2+b^2-2abcos\gamma}[/tex]
Rozwiązanie:
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzy bocznej równej 10, która tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.
Oznacza to, że krawędź boczna wraz z wysokością ostrosłupa oraz dłuższą częścią wysokości podstawy tworzą trójkąt prostokątny.
[tex]b=10\\a=\:?\\h_p=\:?\\\delta=60^\circ[/tex]
Korzystając z funkcji sinus kąta 60° obliczymy wysokość tego ostrosłupa:
[tex]\begin{array}{lll}sin60^\circ=\dfrac{H}b\\\\\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{H}{10}\\\\2H=10\sqrt3&|&:2\\\\\underline{\bold{H=5\sqrt3}}\end{array}[/tex]
Korzystając z funkcji cosinus kąta 60° obliczymy wysokość podstawy:
[tex]\begin{array}{lll}cos60^\circ=\dfrac{\frac23h_p}{b}\\\\\dfrac12=\dfrac{\frac23h_p}{10}\\\\2\cdot \dfrac23h_p=10&|&:2\\\\\dfrac23h_p=5&|&\cdot\dfrac32\\\\\underline{\bold{h_p=\dfrac{15}2}}\end{array}[/tex]
Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego obliczymy długość krawędzi podstawy:
[tex]\begin{array}{lll}\dfrac{a\sqrt3}2=\dfrac{15}2&|&\cdot 2\\\\a\sqrt3=15&|&:\sqrt3\\\\a=\dfrac{15}{\sqrt3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\a=\dfrac{15\sqrt3}3\\\\\underline{\bold{a=5\sqrt3}}\end{array}[/tex]
Obliczamy pole podstawy:
[tex]P_p=\dfrac{(5\sqrt3)^2\sqrt3}4\\\\P_p=\dfrac{25\cdot 3\cdot \sqrt3}{4}[j^2]\\\\\underline{\bold{P_p=\dfrac{75\sqrt3}4[j^2]}}[/tex]
Obliczamy objętość ostrosłupa:
[tex]V=\dfrac13P_p\cdot H\\\\V=\dfrac13\cdot\dfrac{75\sqrt3}4[j^2]\cdot 5\sqrt3\\\\V=\dfrac{75\sqrt3\cdot 5\sqrt3}{3\cdot 4}[j^3]\\\\V=\dfrac{25\cdot 5\cdot 3}{4}[j^3]\\\\V=\dfrac{375}4[j^3]\\\\\boxed{\bold{V=93\dfrac34[j^3]}}[/tex]
Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów równoramiennych, w których podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa, a ramieniem - krawędź boczna ostrosłupa.
O trójkącie równoramiennym wiemy, że wysokość poprowadzona na podstawę dzieli tę podstawę na dwie równe części, zatem wysokość ściany bocznej obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]\begin{array}{lll}\left(\dfrac12a\right)^2+h_b^2=b^2\\\\\dfrac14a^2+h_b^2=b^2\\\\\dfrac14\cdot (5\sqrt3)^2+h_b^2=10^2\\\\\dfrac14\cdot 75+h_b^2=100\\\\\dfrac{74}4+h_b^2=100&|&-\dfrac{75}4\\\\h_b^2=\dfrac{400}4-\dfrac{75}4\\\\h_b^2=\dfrac{325}4\\\\h_b=\sqrt{\dfrac{325}4}\\\\\underline{\bold{h_b=\dfrac{5\sqrt{13}}2}}\end{array}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]P_b=3\cdot\dfrac{ah_b}2\\\\P_b=3\cdot\dfrac{5\sqrt3\cdot \frac{5\sqrt{13}}2}2\\\\P_b=3\cdot 5\sqrt3\cdot \dfrac{5\sqrt{13}}2\cdot \dfrac12\\\\P_b=\dfrac{3\cdot 5\sqrt3\cdot 5\sqrt{13}}{2\cdot 2}\\\\\underline{\bold{P_b=\dfrac{75\sqrt{39}}4}}[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej.
[tex]P_c=P_p+P_b\\\\P_c=\dfrac{75\sqrt3}4[j^2]+\dfrac{75\sqrt{39}}4[j^2]\\\\P_c=\dfrac{75\sqrt3+75\sqrt{39}}4[j^2]\\\\\boxed{\bold{\underline{P_c=\dfrac{75(\sqrt3+\sqrt{39)}}4[j^2]}}}[/tex]
Aby wyznaczyć miarę kąta między kolejnymi krawędziami bocznymi ostrosłupa należy zauważyć, że kąty te są równe i są kątem pomiędzy ramionami ściany bocznej (trójkąta równoramiennego o podstawie 5√3 i ramieniu 10).
Wyznaczamy miarę tego kąta korzystając z Twierdzenia Cosinusów:
[tex]\begin{array}{lll}a^2=b^2+b^2-2b\cdot b\cdot cos\alpha\\\\a^2=2b^2-2b^2cos\alpha\\\\a^2=2b^2(1-cos\alpha)&|&:2b^2\\\\1-cos\alpha=\dfrac{a^2}{2b^2}&|&-1\\\\-cos\alpha=\dfrac{a^2}{2b^2}-1&|&:(-1)\\\\cos\alpha=-\dfrac{a^2}{2b^2}+1\end{array}[/tex]
Podstawiamy znane wartości i obliczamy:
[tex]cos\alpha=-\dfrac{(5\sqrt3)^2}{2\cdot 10^2}+1\\\\cos\alpha=-\dfrac{75}{2\cdot 100}+1\\\\cos\alpha=-\dfrac{75}{200}+\dfrac{200}{200}\\\\cos\alpha=\dfrac{125}{200}\\\\cos\alpha=\dfrac{5}{8} \\\\cos\alpha=0,625[/tex]
Miarę kąta odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych:
[tex]\boxed{\bold{\underline{\alpha \approx 51^\circ}}}[/tex]