Question

POMOCY 50pkt.
Czemu równy jest x dla wyrażenia a=x^3? Podaj wszystkie poprawne odpowiedzi.

Answer 1

Odpowiedź: x ∈ {[tex]\sqrt[3]{a} , \sqrt[3]{a} \frac{-1-\sqrt{3}\i}{2}, \sqrt[3]{a} \frac{-1+\sqrt{3}\i}{2}[/tex]}

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ponieważ x podniesione jest do potęgi trzeciej, równania takiej postaci mają 3 rozwiązania zespolone.

Pierwsze - trywialne - należy do zbioru liczb rzeczywistych (zakładając, że a ∈ R) i jest nim [tex]x_{0}=\sqrt[3]{a}[/tex]. Otrzymujemy je poprzez nałożenie na obie strony pierwiastka 3-go stopnia i odczytanie wyników.

Pozostałe dwa rozwiązania nie należą już do zbioru liczb rzeczywistych - musimy więc zbadać płaszczyznę liczb zespolonych. Odwołamy się do modułu liczby zespolonej - wszystkie 3 rozwiązania mają ten sam moduł (tj. [tex]|x_{0}|=|x_{1}|=|{x_{2}|[/tex] ), więc leżą one na jednym okręgu na płaszczyźnie liczb zespolonych - okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu r = |[tex]x_{0}[/tex]| = [tex]\sqrt[3]{a}[/tex] (korzystamy z 1. rozwiązania).

Następnie korzystamy z informacji, że rozwiązania te są rozłożone równomiernie na okręgu, tj. kąt między nimi jest zawsze taki sam i wynosi [tex]\frac{360}{3}[/tex]° = 120°. Odniesiemy rozwiązania do naszego rozwiązania pierwszego, tj.  [tex]x_{0} =\sqrt[3]{a}[/tex]. Dla postaci trygonometrycznej liczby zespolonej z jej postać trygonometryczna wygląda tak:

[tex]z=|z|\cos\alpha + \i|z|\sin\alpha = |z|(\cos\alpha + \i\sin\alpha)[/tex]

Więc [tex]\alpha[/tex] = 0° dla x = [tex]\sqrt[3]{a}[/tex]. Musimy teraz jedynie podstawić do powyższego wzoru [tex]\alpha[/tex] = 120° oraz [tex]\alpha[/tex] = 240°, by otrzymać pozostałe dwa rozwiązania. Podstawienie ponownie 360° zwróci nam taki sam wynik jak 0° - fakt z trygonometrii. Podstawiamy więc (zapiszę kąty w radianach zamiast stopni):

[tex]x_{1} = |x_{0} |(cos\frac{2\pi}{3} + \i\sin\frac{2\pi}{3}) = \sqrt[3]{a}(-\frac{1}{2} + \i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt[3]{a}\frac{-1+\sqrt{3}\i}{2}[/tex]

[tex]x_{2} = |x_{0} |(cos\frac{4\pi}{3} + \i\sin\frac{4\pi}{3}) = \sqrt[3]{a}(-\frac{1}{2} - \i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt[3]{a}\frac{-1-\sqrt{3}\i}{2}[/tex]

I stąd mamy wszystkie 3 odpowiedzi.

Jeżeli a nie jest liczbą rzeczywistą, ale również jest liczbą zespoloną, należy przeprowadzić podobne rozumowanie i kąty [tex]\alpha[/tex] przesunąć dla odpowiednich podstawień o kąt liczby a. W przeciwnym razie musimy wiedzieć, do jakiego zbioru ma należeć liczba x i do jakiego zbioru należy liczba a.