Naszym zadaniem jest obliczenie wartości kątów α oraz β.
Zacznijmy od przeanalizowania rysunku przedstawionego w zadaniu. Zauważamy, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami o wspólnym boku |BD|. Trójkąt 1 to trójkąt BCD oraztrójkąt 2 to trójkąt ABD. Kąt β należy do trójkąta BCD, natomiast kąt α do trójkąta ABD. Aby obliczyć kąty α oraz β podzielmy zadanie na dwie części.
TRÓJKĄT BCD
Zauważamy, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, ponieważ:
Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. Aby obliczyć wartość kąta α, skorzystamy z funkcji trygonometrycznej. Ponieważ znamy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α oraz długość przeciwprostokątnej możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznej o nazwie sinus. Sinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do długości przeciwprostokątnej. Wobec tego możemy zapisać, że:
Aby wyznaczyć wartość kąta α, musimy wiedzieć, dla jakiej wartości kąta sinus przyjmuje wartość [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Sinus przyjmuje tę wartość dla kąta 30°, zatem:
Witaj :)
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości kątów α oraz β.
Zacznijmy od przeanalizowania rysunku przedstawionego w zadaniu. Zauważamy, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami o wspólnym boku |BD|. Trójkąt 1 to trójkąt BCD oraz trójkąt 2 to trójkąt ABD. Kąt β należy do trójkąta BCD, natomiast kąt α do trójkąta ABD. Aby obliczyć kąty α oraz β podzielmy zadanie na dwie części.
TRÓJKĄT BCD
Zauważamy, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, ponieważ:
[tex]|CD|=|BD|=3\ \ \wedge\ \ |\measuredangle BDC|=90^\circ[/tex]
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakowe miary, wobec tego możemy zapisać, że:
[tex]|\measuredangle DBC|=|\measuredangle DCB|= \beta[/tex]
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°. Ponadto wiemy, że jeden z kątów ma miarę 90° (kąt prosty). Możemy zatem zapisać, że:
[tex]\beta+\beta+90^\circ=180^\circ\\2\beta +90^\circ=180^\circ[/tex]
Obliczmy miarę kąta β:
[tex]2\beta+90^\circ=180^\circ\ /-90^\circ\\2\beta =180^\circ-90^\circ\\2\beta = 90^\circ\ /:2\\\\\boxed{\beta=45^\circ}[/tex]
TRÓJKĄT ABD
Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. Aby obliczyć wartość kąta α, skorzystamy z funkcji trygonometrycznej. Ponieważ znamy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α oraz długość przeciwprostokątnej możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznej o nazwie sinus. Sinusem kąta α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, do długości przeciwprostokątnej. Wobec tego możemy zapisać, że:
[tex]\sin\alpha =\frac{|AD|}{|BD|} , \ gdzie:\ |AD|=1,5\ \wedge\ \ |BD|=3[/tex]
Obliczmy wartość sinusa tego kąta:
[tex]\sin\alpha=\frac{1,5}{3}=\frac{\frac{3}{2} }{3}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{2} \\[/tex]
Aby wyznaczyć wartość kąta α, musimy wiedzieć, dla jakiej wartości kąta sinus przyjmuje wartość [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Sinus przyjmuje tę wartość dla kąta 30°, zatem:
[tex]\sin\alpha=\frac{1}{2}\implies\boxed{ \alpha =30^\circ}[/tex]
Odpowiedź.: α=30°, β=45°.
[tex]\Huge\boxed{B}[/tex]