Question

Pole trójkąta równobocznego jest równe 12√3. Oblicz promień okręgu opisanego oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

Promień okręgu wpisanego w trójkąt: r = 2

Promień okręgu opisanego na trójkącie: R = 4

Okrąg opisany i wpisany - trójkąt równoboczny

Jeśli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, to taki okrąg nazywamy wpisanym w ten wielokąt (na rysunku znajduje się wewnątrz wielokąta).

Jeśli wszystkie wierzchołki danego wielokąta leżą na okręgu, to taki okrąg nazywamy opisanym na tym wielokącie (na rysunku "otacza" wielokąt).

Promień okręgu wpisanego oznaczamy jako [tex]r[/tex], a opisanego jako [tex]R[/tex].

Pole trójkąta równobocznego:

[tex]P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]

Wysokość trójkąta równobocznego:

[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie równobocznym - wzory:

[tex]r=\frac{1}{3}h\\\\R=\frac{2}{3}h[/tex]

Szczegółowe rozwiązanie

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego wyznaczamy długość jego boku [tex]a[/tex]:

[tex]P=12\sqrt{3}\\\\P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\\\12\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \ \ |\cdot 4\\\\48\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \ \ |: \sqrt{3}\\\\a^2=48\\\\a=\sqrt{48}\\\\a=4\sqrt{3}[/tex]

Znając [tex]a[/tex] obliczamy wysokość:

[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=\frac{12}{2}=6[/tex]

Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

[tex]r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot 6 = \frac{6}{3}=2[/tex]

Obliczamy promień okręgu opisanego na trójkącie:

[tex]R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot6=\frac{12}{3}=4[/tex]

#SPJ1