Question

Pole powierzchni całkowitej walca wynosi 150 pi dm ^2. Wyznacz długość promienia podstawy i wysokość walca tak aby jego objętość była maksymalna.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]P_c=2\pi r^{2} +2\pi rh\\2\pi r^{2} +2\pi rh=150\pi /:2\pi \\r^{2} +rh=75\\rh=75-r^{2} /:r\\\displaystyle h=\frac{75-r^{2} }{r} \qquad 75-r^{2} > 0\quad \Rightarrow r^{2} < 75/\sqrt{} \quad \Rightarrow r\in(0,5\sqrt{3} )\\V=\pi r^{2} h\\V=\pi r^{2} \frac{75-r^{2} }{r}=\pi r(75-r^{2} )=-\pi r^{3} +75\pi r\\V'(r)=-3\pi r^{2} +75\pi =-3\pi (r^{2} -25)=-3\pi (r-5)(r+5)[/tex]

Tylko r=5 należy do dziedziny , I pochodna zmienia znak przechodząc przez 5 z + na - ,tzn. w x=5 funkcja posiada maksimum lokalne

[tex]\displaystyle h=\frac{75-r^{2} }{r} =\frac{75-25}{5} =10\\r=5\quad h=10[/tex]