Question

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 27 cm². Krawędź podstawy ma 3 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Answer 1

Odpowiedź:

a - krawędź podstawy = 3 cm

Pc - pole całkowite = 27 cm²

Pp - pole podstawy = a² = 3² cm² = 9 cm²

Pc - pole całkowite = Pp + Pb

Pb - pole boczne = Pc - Pp = 27 cm² - 9 cm² = 18 cm²

Pb₁ - pole jednej ściany bocznej = 18 cm² : 4 = 4,5 cm²

Pb₁ = 1/2 * a * h

2 * Pb₁ = 3 cm * h

h - wysokość ściany bocznej = 2 * Pb₁ : 3 cm = 2 * 4,5 cm² : 3 cm =

= 9 cm² : 3 cm = 3 cm

H - wysokość ostrosłupa = √[h² - (a/2)²] = √(3² - 1,5²) cm = √(9 - 2,25) cm = √6,75 cm = √(6 3/4) cm = √(27/4) cm = √27/2 cm = √(9 * 3)/2 cm =

= 3√3/2 cm

V - objętość ostrosłupa = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 9 cm² * 3√3/2 cm =

= 9 cm² * √3/2 cm = 9√3/2 cm³ = 4,5√3 cm³

α - kąt nachylenia ściany bocznej

H/h = sinα

sinα = 3√3/2 : 3 = 3√3/2 * 1/3 = 3√3/6 = √3/2

sinα = sin60°

α = 60°