Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy x wyraża się wzorem B(x)=-4x^2+200x gdzie x∈ (0;50). Wyznacz tę wartość x, dla której to pole powierzchni bocznej jest największe. Dla wyznaczonej długości krawędzi podstawy oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
[tex]x=25\\V=15625[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.
Pole powierzchni bocznej wyraża się wzorem
[tex]B(x)=-4x^2+200x[/tex], gdzie [tex]x\in(0,50)[/tex]
Jest funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy [tex]x^2[/tex], więc parabola ma ramiona skierowana w dół.
Zatem największego pola powierzchni bocznej szukamy w wierzchołku.
[tex]x_W=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2*(-4)}=-\frac{200}{-8}=25\quad\in(0,50)[/tex]
Aby obliczyć objętość graniastosłupa, policzmy najpierw pole powierzchni bocznej.
[tex]B(25)=-4*25^2+200*25=-4*625+5000=-2500+5000=2500[/tex]
Na powierzchnię boczną składają się 4 identyczne prostokąty o wymiarach 25 x h, więc policzymy h.
[tex]4*25*h=2500\\100h=2500\ |:100\\h=25[/tex]
Zatem objętość graniastosłupa wynosi:
[tex]V=25*25*25=15625[/tex]