Question

Podstawy trapezu maja długość 12 i 18 cm miary kątów przy dłuższej podstawie są równe 30 i 45 oblicz pole tego trapezu.

Answer 1

[tex]P=45(\sqrt3-1)}\ \,[j^2][/tex]

Wysokości trapezu poprowadzone z krótszej podstawy dzielą trapez na prostokąt i dwa trójkąty prostokątne.

Skoro kąty przy podstawie trapezu mają 30° i 45° to utworzone trójkąty są trójkątami szczególnymi:

• trójkąt prostokątny o kącie ostrym 45° jest połówką kwadratu,
• trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° jest połówką trójkąta równobocznego.

{w pierwszym załączniku zależności boków w takich trójkątach}

Czyli wysokości trapezu dzielą jego dłuższą podstawę na trzy odcinki:

• h√3   - dłuższa przyprostokątna w połówce trójkąta równobocznego,
• 12   - odcinek równy krótszej podstawie trapezu,
• h   -  przyprostokątna w połówce kwadratu jest równa wysokości trójkąta (czyli drugiej przyprostokątnej).

Stąd:

            [tex]h\sqrt3+12+h=18\qquad|-12\\\\h(\sqrt3+1)=6\qquad/:(\sqrt3+1)\\\\h=\dfrac6{\sqrt3+1} \cdot\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}\\\\h=\dfrac{6(\sqrt3-1)}{3-1} \\\\h=\dfrac{6(\sqrt3-1)}2 \\\\h=3(\sqrt3-1)[/tex]

Zatem pole trapezu wynosi:

              [tex]P=\dfrac{|AB|+|BC|}2\cdot h\\\\ P=\dfrac{18+12}2\cdot3(\sqrt3-1)\\\\ P=\dfrac{30}2\cdot3(\sqrt3-1) \\\\\\\large\text{$\bold{P=45(\sqrt3-1)}\ \,[j^2]$}[/tex]