Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym kąt BAC ma 30 stopni, a kąt ACB ma 105 stopni. Przekątna ściany bocznej o najmniejszym polu powierzchni tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 stopni. Wiedząc, że wysokość graniastosłupa jest równa 2 dm, oblicz jego objętość.
Odp.: 2(1+√3) dm^3.
Odp.: 2(1+√3) dm^3.
Verified answer
Odpowiedź:
Rozwiązanie zadania zaczynamy od narysowania podstawy graniastosłupa (rysunek w załączniku)
Jest to trójkąt rozwartokątny o kątach wewnętrznych :
∡BAC = 30°
∡ACB = 105°
∡ACB = 45°
Rysujemy wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka A ; na boku IBCI zaznaczamy punkt D spadku tej wysokości
Otrzymaliśmy dwa trójkąty prostokątne ABD i ADC .
Trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym o miarach katów wewnętrznych
45° , 45° , 90° , więc IADI = ICDI
Korzystamy teraz z informacji , że przekątna ściany bocznej o najmniejszym polu tworzy z płaszczyzną podstawy kat 45°. Wynika z tego , że wysokość graniastosłupa jest równa najkrótszemu bokowi podstawy.
H - wysokość graniastosłupa = 2 dm = IADI . ponieważ w każdym trójkącie na przeciw najmniejszego kata leży najkrótszy bok .
IACI jest przekątna kwadratu o bokach IADI i ICDI
IACI = IADI√2 = 2√2 dm
IADI = ICDI = √2 dm
Rozpatrujemy trójkąt ABD . Jest to trójkąt prostokątny o miarach katów wewnętrznych 30° , 60° , 90° . Z własności tego trójkąta wynika :
IADI/IABI = 1/2
IABI = 2IADI = 2 * √2 dm = 2√2 dm
IBDI/IABI = √3/2
2IDBI = IABI√3 = 2√2 dm * √3 = 2√6 dm
IBDI = 2√6/2 dm = √6 dm
IBCI = IBDI + ICDI = √6 dm + √2 dm
h - wysokość podstawy = IADI = √2 dm
Pp - pole podstawy = 1/2 * IBCI * IADI * h =
= 1/2 * (√6 + √2) dm * √2 dm = 1/2 * (√6 + √2) dm * √2 dm =
1/2 * (√12 + 2) dm² = 1/2[√(4 * 3) + 2] dm² = 1/2 * (2√3 + 2 ) dm² =
= 1/2 * 2(√3 + 1) dm² = (√3 + 1) dm²
V - objętość graniastosłupa = Pp * H = (1 + √3) dm² * 2 dm =
2(1 + √3) dm³