Pocisk wystrzelono pod kątem α=30º do poziomu. Linia pionowa, wzdłuż której wznosi się i spada rzutka, znajduje się w odległości d=100 m od punktu, z którego wystrzelono pocisk. Z jakiej wysokości powinna spadać rzutka aby trafił ją pocisk wystrzelony w chwili gdy znajdowała się w najwyższym punkcie? Przyjmij, że pocisk i rzutkę wystrzelono z tej samej wysokości nad ziemią.
Zacznijmy od napisania równań ruchu.
Dla spadającej rzutki:
[tex]x_1(t)=d\\y_1(t)=H-\frac{gt^2}{2}[/tex]
rzutka bowiem spada swobodnie w odległości d od obserwatora (od strzelającego)
Dla pocisku (rzut ukośny z prędkością początkową V_0)
[tex]x_2(t)=V_0\cos\alpha\cdot t\\y_2(t)=V_0\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}[/tex]
warunek trafienia pocisku w rzutkę:
[tex]x_1=x_2\\y_1=y_2\\d=V_0\cos\alpha\cdot t\ \Rightarrow t=\frac{d}{V_0\cos\alpha}\\H-\frac{gt^2}{2}=V_0\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}\\H=V_0\sin\alpha\cdot t[/tex]
Wysokość zależy od prędkości początkowej V_0 oraz z czasu t. Czas wyznaczyłem wprawdzie z pierwszego równania, lecz tam także pojawia się prędkość początkowa.
Nie ma jednak strachu, gdyż w wyrażeniu na wysokość pojawia się iloczyn prędkości i czasu:
[tex]V_0t=\frac{d}{\cos\alpha}\\H=V_0t\cdot\sin\alpha=d\tan\alpha\\H=100m\cdot\tan{30^\circ}=\frac{100\sqrt3}{3}m\approx57.7m[/tex]
Ten trywialny wynik ma jednak pewien sens. Wynika z niego, że należy celować dokładnie w punkt, w którym znajduje się rzutka. Oczywiście robimy tu milczące założenie, że trafienie nastąpi zanim rzutka spadnie na ziemię. Z matematycznego punktu widzenia, nasze prosta i parabola zawsze się przetną. Fizyka jednak musi opisywać rzeczywistość, co nakazuje nam uczynić zastrzeżenie:
[tex]t < t_{max}=\frac{2V_0\sin\alpha}{g}[/tex]
co daje ograniczenie na prędkość:
[tex]\frac{d}{V_0\cos\alpha} < \frac{2V_0\sin\alpha}{g}\\V_0 > \sqrt{\frac{gd}{\sin{2\alpha}}}[/tex]
Jeżeli natomiast naszym marzeniem jest, aby trafienie nastąpiło w najwyższym punkcie toru pocisku (pocisku, nie rzutki)
wtedy czas do trafienia jest równy połowie maksymalnego czasu lotu pocisku
[tex]\frac{d}{V_0\cos\alpha}=\frac{V_0\sin\alpha}{g}\\V_0=\sqrt{\frac{2gd}{\sin{2\alpha}}}[/tex]
pozdrawiam