Question

PLEASE HELP w tym zadaniu

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]f(x)=ax^{3}-2x^{2} +2bx-1\\[/tex]

aby obliczyć ekstrema należy wyznaczyć pochodną:

[tex]f'(x)=3ax^2-4x+2b[/tex]

ekstrema w punktach [tex]x=1[/tex] oraz [tex]x=3[/tex] oznaczają że pochodna w tych punktach osiąga wartość 0, tzn.

[tex]\left \{ {{f'(1)=0} \atop {f'(3)=0}} \right.[/tex]

[tex]\left \{ {{3a-4+2b=0} \atop {27a-12+2b=0}} \right.\\\left \{ {{2b=-3a+4} \atop {27a-12-3a+4=0}} \right.\\\left \{ {{2b=-3a+4} \atop {24a-8=0}} \right.\\\left \{ {{2b=-3a+4} \atop {24a=8}} \right.\\\left \{ {{2b=-3a+4} \atop {a=\frac{1}{3} }} \right.\\\left \{ {{2b=-3*\frac{1}{3}+4} \atop {a=\frac{1}{3} }} \right.\\\left \{ {{2b=3} \atop {a=\frac{1}{3} }} \right.\\\left \{ {{b=\frac{3}{2}} \atop {a=\frac{1}{3} }} \right.[/tex]

[tex]f'(x)=x^2-4x+3\\f'(x)=x^2-x-3x+3\\f'(x)=(x-1)(x-3)[/tex]

[tex]f'(x) > 0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ (-∞,1)U(3, +∞),

[tex]f'(x) < 0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ (1,3)

pochodna zmienia znak w punkcie [tex]x=1[/tex] z + na - więc funkcja f(x) osiąga w punkcie [tex]x=1[/tex] ekstremum maksimum

pochodna zmienia znak w punkcie [tex]x=3[/tex] z - na + więc funkcja f(x) osiąga w punkcie [tex]x=3[/tex] ekstremum minimum