Question

Plastelinowa kulka spoczywa na poziomym stole o wysokości h. Uderza w nią centralnie druga plastelinowa
kulka, o 2-krotnie większej masie, poruszająca się jednostajnie z prędkością v. Kulki po sklejeniu spadają razem
ze stołu w odległości x, licząc od nogi stołu do miejsca upadku.
Jaka powinna być prędkość v, aby kulki upadły w odległości 2-krotnie mniejszej od wysokości stołu ?

Answer 1

Dane:
m, 2m - masy kulek
h - wysokość stołu
v - prędkość większej kulki przed zderzeniem
x=1/2h - odległość upadku od nogi stołu

Szukane:
v

Założenia:
1. nie ma tarcia, tym bardziej że kulki po złączeniu nie będą się toczyć
2. nogi stołu są przymocowane równo pod krawędzią blatu

Lot kulek po opuszczeniu stołu jest rzutem poziomym, który składa się z 2 prędkości: stałej poziomej oraz pionowej jednostajnie przyspieszanej wskutek przyciągania ziemi - czyli spadek swobodny. Zasięg lotu jest zależny od prędkości oraz czasu lotu, ten zaś w ścisły sposób jest zależny od wysokości stołu. Wysokość h jest stała, więc zasięg można regulować tylko prędkością początkową.
Zderzenie opisuje prawo zachowania pędu, czyli suma pędów układu jest równa zeru:
m*0 + 2mv - 3mv₁= 0, gdzie v₁=prędkość obu kulek po zderzeniu
v₁=⅔v
Czas lotu kulek jest czasem swobodnego spadania z wysokości h:
h=gt²/2, gdzie g≈10m/s² - przyśpieszenie ziemskie, skąd:
t=√(2h/g)
Zasięg lotu x:
x=v₁t
x=v₁√(2h/g)
Mamy warunek: x=½h
½h=v₁√(2h/g)
Po podniesieniu obu stron do kwadratu:
¼h²=v₁²(2h/g)
v₁²=hg/8
v₁=√(hg/8)=¼√(2hg)
Ale ponieważ
v₁=⅔v
więc
⅔v=¼√(2hg)
v=⅜√(2hg)

Tzn. że jeśli h=1 m, to v=⅜√(2*1*10)=⅜*2√5=¾√5≈1,68 m/s
Spr.
v₁=⅔v=½√5 m/s
t=√(2h/g)=√(2*1/10)=√5/5 s
x=v₁*t=½√5*√5/5=½ m, czyli połowa wysokości.

Odp. Prędkość kulki przed zderzeniem powinna wynosić ⅜√(2hg), czyli ⅜ pierwiastka z iloczynu 2hg.