PILNE!! w trójkącie o kątach 30°,60°,90° najkrótszy bok ma 14 cm. Dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na 2 odcinki. Oblicz RÓŻNICE ich długości
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Różnica długości tych odcinków wynosi:
Trójkąt prostokątny o kątach [tex]30^o,60^o,90^o[/tex]
Trójkąt o kątach [tex]30^o,60^o,90^o[/tex] jest trójkątem prostokątnym będącym połową trójkąta równobocznego. Jeśli długość jednej z jego przyprostokątnych, która jest najkrótszym bokiem tego trójkąta, oznaczymy jako [tex]a[/tex], to długość drugiej przyprostokątnej jest równa [tex]a\sqrt3[/tex], a długość przeciwprostokątnej jest równa [tex]2a[/tex].
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie
Twierdzenie to mówi nam, że dwusieczna kata wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok tego trójkąta proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
Jeśli dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok na odcinki długości x i y, a długości pozostałych boków oznaczymy jako a (bok przy odcinku x) i b (bok przy odcinku y), możemy zapisać równość:
[tex]\frac{a}x=\frac{b}y[/tex].
Mamy trójkąt o kątach [tex]30^o,60^o,90^o[/tex] i najkrótszym boku długości 12cm. Zatem druga jego przyprostokątna ma długość [tex]12\sqrt3cm[/tex], a przeciwprostokątna - [tex]24cm[/tex].
Oznaczmy odcinki, na jakie dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną, jako x (po stronie boku 12cm) i 24-x (po stronie boku [tex]12\sqrt3cm[/tex]). Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie możemy zapisać równość
[tex]\frac{12}{x}=\frac{12\sqrt3}{24-x}/:12\\\frac1x=\frac{\sqrt3}{24-x}/*x\\1=\frac{x\sqrt3}{24-x}/*(24-x)\\24-x=x\sqrt3/+x\\x\sqrt3+x=24\\x(\sqrt3+1)=24/:24\\x=\frac{24}{\sqrt3+1}=\frac{24(\sqrt3-1)}{(\sqrt3)^2-1^2}=\frac{24(\sqrt3-1)}{3-1}=\frac{24(\sqrt3-1)}2=12(\sqrt3-1)=(12\sqrt3-12)[cm][/tex]
[tex]24-x=24-(12\sqrt3-12)=24-12\sqrt3+12=(36-12\sqrt3)[cm][/tex]
Różnica długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego, wynosi
[tex]36-12\sqrt3-(12\sqrt3-12)=36-12\sqrt3-12\sqrt3+12=48-24\sqrt3=24(2-\sqrt3)[cm][/tex]
Mamy trójkąt o kątach [tex]30^o,60^o,90^o[/tex] i najkrótszym boku długości 14cm. Zatem druga jego przyprostokątna ma długość [tex]14\sqrt3cm[/tex], a przeciwprostokątna - [tex]28cm[/tex].
Oznaczmy odcinki, na jakie dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną, jako x (po stronie boku 14cm) i 28-x (po stronie boku [tex]14\sqrt3cm[/tex]). Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie możemy zapisać równość
[tex]\frac{14}{x}=\frac{14\sqrt3}{28-x}/:14\\\frac1x=\frac{\sqrt3}{28-x}/*x\\1=\frac{x\sqrt3}{28-x}/*(28-x)\\28-x=x\sqrt3/+x\\x\sqrt3+x=28\\x(\sqrt3+1)=28/:28\\x=\frac{28}{\sqrt3+1}=\frac{28(\sqrt3-1)}{(\sqrt3)^2-1^2}=\frac{28(\sqrt3-1)}{3-1}=\frac{28(\sqrt3-1)}2=14(\sqrt3-1)=(14\sqrt3-14)[cm][/tex]
[tex]28-x=28-(14\sqrt3-14)=28-14\sqrt3+14=(42-14\sqrt3)[cm][/tex]
Różnica długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego, wynosi
[tex]42-14\sqrt3-(14\sqrt3-14)=42-14\sqrt3-14\sqrt3+14=56-28\sqrt3=28(2-\sqrt3)[cm][/tex]
#SPJ1