Question

PILNE
Mamy 10 ponumerowanych pudełek. W pudełku numer k gdzie k ∈ {1,2,3.....,10} jest k białych kul i 15 - k czarnych. Z losowo wybranego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

Answer 1

Obliczanie prawdopodobieństwa danego zdarzenia

[tex]P = \frac{19}{30}[/tex]

Rozwiązanie:

Rysujemy drzewko prawdopodobieństwa. Na początku rysujemy dziesięć gałęzi i każdą z nich oznaczamy kolejną liczbą całkowitą z przedziału od 1 do 10. Są to pudełka, które wybieramy losowo. Prawdopodobieństwo wybrania jednego pudełka jest identyczne dla wszystkich pudełek i równe [tex]\frac{1}{10}[/tex] (wybieramy jedno z 10).

Do każdej gałęzi dorysowujemy dwie kolejne, te oznaczamy jako B (białe) i CZ (czarne). Reprezentują one kule znajdujące się w pudełku.

W sumie wszystkich kul w jednym pudełku jest k + 15 - k = 15.

Dla kul białych w jednym pudełku prawdopodobieństwo zapisujemy jako:

P(B) = [tex]\frac{k}{15}[/tex]

A dla kul czarnych:

P(CZ) = [tex]\frac{15-k}{15}[/tex]

Zamiast k podstawiamy wartość k, którą przypisaliśmy gałęzi, od której odchodzą te, które rozważamy.

Dla k = 1:

P(B) = [tex]\frac{1}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{14}{15}[/tex]

Dla k = 2:

P(B) = [tex]\frac{2}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{13}{15}[/tex]

Dla k = 3:

P(B) = [tex]\frac{3}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{12}{15}[/tex]

Dla k = 4:

P(B) = [tex]\frac{4}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{11}{15}[/tex]

Dla k = 5:

P(B) = [tex]\frac{5}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{10}{15}[/tex]

Dla k = 6:

P(B) = [tex]\frac{1}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{14}{15}[/tex]

Dla k = 7:

P(B) = [tex]\frac{7}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{8}{15}[/tex]

Dla k = 8:

P(B) = [tex]\frac{8}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{7}{15}[/tex]

Dla k = 9:

P(B) = [tex]\frac{9}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{6}{15}[/tex]

Dla k = 10:

P(B) = [tex]\frac{10}{15}[/tex]

P(CZ) = [tex]\frac{5}{15}[/tex]

Aby obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej musimy pomnożyć prawdopodobieństwo na górnych gałęziach przez prawdopodobieństwo dolnej gałęzi opisującej kule czarne. Następnie musimy zsumować wszystkie otrzymane iloczyny.  

[tex]P = \frac{1}{10} * \frac{14}{15} + \frac{1}{10} * \frac{13}{15} + \frac{1}{10} * \frac{12}{15} + \frac{1}{10} * \frac{11}{15} + \frac{1}{10} * \frac{10}{15} + \frac{1}{10} * \frac{9}{15} + \frac{1}{10} * \frac{8}{15} + \frac{1}{10} * \frac{7}{15} + \frac{1}{10} * \frac{6}{15} + \frac{1}{10} * \frac{5}{15}[/tex]

[tex]P = \frac{1}{10}( \frac{14}{15} + \frac{13}{15} + \frac{12}{15} + \frac{11}{15} + \frac{10}{15} + \frac{9}{15} + \frac{8}{15} + \frac{7}{15} + \frac{6}{15} +\frac{5}{15})[/tex]

[tex]P = \frac{1}{10} * \frac{95}{15} = \frac{95}{150} = \frac{19}{30}[/tex]

Otrzymaliśmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.

#SPJ1