Persamaan lingkaran yang melalui titik (-1, 7), panjang jari-jari akar 5 dan pusat lingkaran terletak pada garis y = 3x + 15 adalah
A. x² + y ² + 2x + 24y + 140 = 0
B. 5x² + 5y² - 20x - 30y - 29 = 0
C. x² + y² + 4x - 16y + 66 = 0
D. x² + y² + 6x - 12y + 40 = 0
E. x² + y² - 2x + 36y + 320 = 0
Pliss bantu jawab butuh besok
A. x² + y ² + 2x + 24y + 140 = 0
B. 5x² + 5y² - 20x - 30y - 29 = 0
C. x² + y² + 4x - 16y + 66 = 0
D. x² + y² + 6x - 12y + 40 = 0
E. x² + y² - 2x + 36y + 320 = 0
Pliss bantu jawab butuh besok
Jawaban:
Untuk menemukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-1, 7), dengan panjang jari-jari akar 5 dan pusat lingkaran pada garis y = 3x + 15, kita perlu menggunakan persamaan lingkaran umum:
(x - h)² + (y - k)² = r²
di mana (h, k) adalah koordinat pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran.
Dalam hal ini, kita diberikan bahwa garis y = 3x + 15 adalah garis pusat lingkaran. Karena pusat lingkaran berada pada garis ini, kita dapat menentukan bahwa pusat lingkaran adalah titik perpotongan antara garis ini dan jalur lingkaran.
Untuk mencari pusat lingkaran, kita harus menyelesaikan sistem persamaan antara garis pusat lingkaran dan persamaan garis lingkaran:
y = 3x + 15
(x - h)² + (y - k)² = r²
Substitusikan persamaan garis y = 3x + 15 ke persamaan lingkaran:
(x - h)² + (3x + 15 - k)² = r²
Karena kita memiliki koordinat titik (-1, 7) yang terletak pada lingkaran, kita dapat substitusikan koordinat ini ke persamaan lingkaran:
((-1) - h)² + (3(-1) + 15 - k)² = 5²
Simplifikasi dan ekspansi persamaan ini, kita akan mendapatkan:
(1 + h)² + (12 - k)² = 25
1 + 2h + h² + 144 - 24k + k² = 25
h² + k² + 2h - 24k + 120 = 0
Dengan demikian, persamaan lingkaran yang kita cari adalah h² + k² + 2h - 24k + 120 = 0. Opsi yang sesuai dengan persamaan ini adalah pilihan:
C. x² + y² + 4x - 16y + 66 = 0
Saya sarankan untuk memverifikasi perhitungan ini untuk memastikan persamaan lingkaran yang benar.
Verified answer
Persamaan lingkarannya adalah D. x² + y² + 6x - 12y + 40 = 0.
PEMBAHASAN
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Dalam hal ini titik tersebut adalah titik pusat lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran :
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
Dengan :
(a, b) = titik pusat lingkaran
r = jari jari lingkaran.
DIKETAHUI
Persamaan lingkaran :
Jari jari r = √5.
Melalui titik (x₁, y₁) = (-1, 7)
Pusat lingkaran (a, b) terletak pada garis y = 3x + 15.
.
DITANYA
Tentukan persamaan lingkarannya.
.
PENYELESAIAN
Substitusi pusat lingkaran (a, b) ke pers. garis :
[tex]y=3x+15[/tex]
[tex]b=3a+15~~~...(i)[/tex]
.
Jarak titik pusat (a, b) ke titik (-1, 7) = jari jari lingkaran :
[tex]r=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2}[/tex]
[tex]\sqrt{5}=\sqrt{(-1-a)^2+(7-b)^2}~~~...kuadratkan~kedua~ruas[/tex]
[tex]5=(-1-a)^2+(7-b)^2[/tex]
[tex]5=1+2a+a^2+49-14b+b^2~~~...substitusi~pers.(i)[/tex]
[tex]5=50+2a+a^2-14(3a+15)+(3a+15)^2[/tex]
[tex]0=45+2a+a^2-42a-210+9a^2+90a+225[/tex]
[tex]10a^2+50a+60=0~~~...kedua~ruas~dibagi~10[/tex]
[tex]a^2+5a+6=0[/tex]
[tex](a+2)(a+3)=0[/tex]
[tex]a=-2~~atau~a=-3[/tex]
.
Untuk a = -2 :
[tex]b=3(-2)+15[/tex]
[tex]b=9[/tex]
Titik pusat (a₁, b₁) = (-2, 9).
.
Untuk a = -3 :
[tex]b=3(-3)+15[/tex]
[tex]b=6[/tex]
Titik pusat (a₂, b₂) = (-3, 6).
.
Diperoleh 2 titik pusat lingkaran. Maka persamaan lingkarannya :
[tex](x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r^2[/tex]
[tex](x+2)^2+(y-9)^2=(\sqrt{5})^2[/tex]
[tex]x^2+4x+4+y^2-18y+81=5[/tex]
[tex]x^2+y^2+4x-18y+80=0[/tex]
.
Atau :
[tex](x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r^2[/tex]
[tex](x+3)^2+(y-6)^2=(\sqrt{5})^2[/tex]
[tex]x^2+6y+9+y^2-12y+36=5[/tex]
[tex]x^2+y^2+6y-12y+40=0[/tex]
.
KESIMPULAN
Persamaan lingkarannya adalah D. x² + y² + 6x - 12y + 40 = 0.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Lingkaran
Kode Kategorisasi: 11.2.5.1