Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0)
dan menyinggung garis 6x - 8y - 20 = 0
adalah ....
A. x² + y² = √√5
B. x² + y² = √3
C.x² + y² = 2√5
D. x² + y² = 2√3
E. x² + y² = 4
dan menyinggung garis 6x - 8y - 20 = 0
adalah ....
A. x² + y² = √√5
B. x² + y² = √3
C.x² + y² = 2√5
D. x² + y² = 2√3
E. x² + y² = 4
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan menyinggung garis 6x - 8y - 20 = 0, kita perlu mencari titik singgung antara lingkaran dan garis terlebih dahulu.
Diketahui garisnya memiliki persamaan 6x - 8y - 20 = 0. Kita dapat menuliskan persamaannya dalam bentuk umum yaitu:
y = 3/4 x - 5/2
Perhatikan bahwa gradien garisnya adalah 3/4, sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis tersebut adalah -4/3.
Kita dapat mencari titik singgung dengan mencari titik potong antara garis 6x - 8y - 20 = 0 dan garis yang tegak lurus dengan gradien -4/3 dan melalui titik (0,0). Kita dapat tuliskan persamaannya sebagai berikut:
y - 0 = -4/3 (x - 0)
y = -4/3 x
Substitusikan persamaan garis y = -4/3 x ke dalam persamaan garis awalnya untuk mencari titik potongnya:
6x - 8(-4/3 x) - 20 = 0
18x + 32x - 60 = 0
50x = 60
x = 6/5
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan y = -4/3 x untuk mendapatkan nilai y:
y = -4/3 (6/5)
y = -8/5
Maka titik singgungnya adalah (6/5, -8/5).
Jarak antara titik pusat lingkaran (0,0) dan titik singgung dapat ditemukan dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, yaitu:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Substitusikan nilai x dan y titik pusat dan titik singgung ke dalam rumus tersebut:
d = √((0 - 6/5)² + (0 - (-8/5))²)
d = √(36/25 + 64/25)
d = √100/25
d = 2
Maka jari-jari lingkaran adalah 2, sehingga persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai:
x² + y² = r²
x² + y² = 2²
x² + y² = 4
Jadi jawabannya adalah E. x² + y² = 4.