Question

permisi ada yang bisa bantu untuk ini
Transformasi matriks
dari A (0-1 1) menjadi A' * ( 1 1 1 )
dari B (-1 2 1) menjadi B' * (8 4 0) dan dari C (1 2 0) menjadi C'(3 2 1) Tentukan Operator Matriks nya

Answer 1

Jawab:

Untuk mentransformasi matriks A menjadi matriks A', kita perlu melakukan beberapa operasi matriks. Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

Langkah 1: Tentukan matriks operator M yang memenuhi A * M = A'

A = (0 -1 1)

A' = (1 1 1)

Kita dapatkan M sebagai berikut:

(1) x M = 0 --> M = (0)

(1) x M = -1 --> M = (-1)

(1) x M = 1 --> M = (1)

Sehingga operator M adalah:

M = (0)

(-1)

(1)

Langkah 2: Tentukan matriks hasil A'

A' = A * M

A' = (0 -1 1) x (0) = (0)

(-1) x (-1) = (1)

(1) x (1) = (1)

Jadi, A' = (0 1 1)

Lakukan hal yang sama untuk matriks B dan C:

B = (-1 2 1)

B' = (8 4 0)

Operator M untuk B adalah:

(1) x M = -1 --> M = (-1)

(1) x M = 2 --> M = (2)

(1) x M = 1 --> M = (1)

Sehingga operator M untuk B adalah:

M = (-1)

(2)

(1)

Hasil dari B' adalah:

B' = B * M

B' = (-1 2 1) x (-1) = (8)

(2)

(1)

Jadi, B' = (8 2 1)

C = (1 2 0)

C' = (3 2 1)

Operator M untuk C adalah:

(1) x M = 1 --> M = (1)

(1) x M = 2 --> M = (2)

(0) x M = 0 --> M = (0)

Sehingga operator M untuk C adalah:

M = (1)

(2)

(0)

Hasil dari C' adalah:

C' = C * M

C' = (1 2 0) x (1) = (3)

(2)

(0)

Jadi, C' = (3 2 0)

Jadi, matriks A' adalah (0 1 1), B' adalah (8 2 1), dan C' adalah (3 2 0).

Answer 2

Jawab:

Pertama, perhatikan kita cuman bisa mendapatkan matriks transformasi [tex]T[/tex] di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] jika kita tahu hasil peta [tex]T[/tex] terhadap basis standar

                 [tex]e_1 &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]                   [tex]e_2 &= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]                    [tex]e_3 &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

Tapi, disini kita tidak tahu nilai [tex]T(e_1),T(e_2),[/tex]  dan [tex]T(e_3)[/tex].  Yang kita ketahui adalah

                                    [tex]A &= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{T}}T(A) &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

                                    [tex]B &= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{T}}T(B) &= \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]              

                                    [tex]C &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{T}}T(C) &= \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

Jadi, gimana supaya kita bisa cari matriks transformasi [tex]T[/tex] ?        

1. Kita harus ubah vektor [tex]A,B,C[/tex] menjadi basis standar baru, dengan

   matriks perubahan koordinat [tex]U[/tex],  matriks  [tex]U[/tex] didapat dengan aturan

                                 [tex]e_1 &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{U}}U(e_1) &= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = A[/tex]

                                 [tex]e_2 &= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{U}}U(e_2) &= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = B[/tex]

                                 [tex]e_3 &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\xrightarrow{\text{U}}U(e_3) &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = C[/tex]

  sehingga didapat matrix [tex]U[/tex]

                       [tex]U = \begin{bmatrix} U(e_1) & U(e_2) & U(e_3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &-1&1\\-1&2&2\\1&1&0\\\end{bmatrix}[/tex]

2. Sekarang, kita punya dua basis. Basis standar [tex]\mathcal{E} = \{e_1,e_2,e_3\}[/tex]  dan

    basis baru [tex]\mathcal{F} = \{A,B,C\}[/tex]. Di basis baru ini kita bisa dapatkan matriks

    transformasi dari [tex]T[/tex], yaitu [tex][T]_\mathcal{F}[/tex].  dengan menghitung

                                       [tex][T]_\mathcal{F} &= \begin{bmatrix} T(A) & T(B) & T(C)\end{bmatrix}[/tex]

                                               [tex]&= \begin{bmatrix} T \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} & T\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} & T\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}\end{bmatrix}[/tex]

                                              [tex]= \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\1&4&2\\1&0&1 \end{bmatrix}[/tex]

3. Kita dapatkan matriks transformasi [tex]T[/tex] pada basis standar

    [tex]\mathcal{E} = \{e_1,e_2,e_3\}[/tex]  dengan rumus pergantian koordinat linear

                           [tex]\Bigg( \text{matriks $T$ pada basis }\mathcal{E} \Bigg) = \Bigg( \text{Ganti koordinat } \mathcal_F \rightarrow \mathcal_E \Bigg) \Bigg( \text{matriks $T$ pada basis }\mathcal{F} \Bigg)[/tex]          

                                           [tex]\Bigg( \text{Ganti koordinat } \mathcal_E \rightarrow \mathcal_F \Bigg)[/tex]        

atau dengan notasi yang lebih sederhana

                                           [tex][T]_\mathcal{E} = U^{-1} \ [T]_\mathcal{F} \ U[/tex] .

Kita sudah tahu nilai matriks  [tex]U[/tex] dan  [tex][T]_\mathcal{F}[/tex],  sekarang kita hanya perlu mencari matriks [tex]U^{-1}[/tex].  Dengan algoritma matriks inverse (bisa pakai rumus determinan-adjoint atau Gauss-jordan) didapat

                                        [tex]\displaystyle U^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\-2&1&1\\3&1&1 \end{bmatrix}[/tex]

Sehingga  

                             [tex][T]_\mathcal{E} = U^{-1} \ [T]_\mathcal{F} \ U[/tex]

                                    [tex]= \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\-2&1&1\\3&1&1 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 1 & 8 & 3 \\1&4&2\\1&0&1 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0 &-1&1\\-1&2&2\\1&1&0\\\end{bmatrix}[/tex]

                                    [tex]\displaystyle = \begin{\bmatrix}-2&-18/5&68/5\\4/5 & 9/5 & 9/5\\3/5 & 0 & 1/5\end{bmatrix}[/tex].