Niech dana będzie funkcja y = f(x) określona w przedziale (a, b) i mająca zbiór wartości (c, d). Niech będzie dany wykres tej funkcji oraz liczba n > 0. Wówczas:
f(x) + n - przesuwamy wykres funkcji f o n jednostek w górę - dziedzina funkcji nie zmienia się; - zbiór wartości funkcji zmienia się do (c + n, d + n)
f(x) - n - przesuwamy wykres funkcji f o n jednostek w dół - dziedzina funkcji nie zmienia się; - zbiór wartości funkcji zmienia się do (c - n, d - n)
f(x + n) - przesuwamy wykres funkcji f o n jednostek w lewo - dziedzina funkcji zmienia się do (a - n, b - n); - zbiór wartości funkcji nie zmienia się
f(x - n) - przesuwamy wykres funkcji f o n jednostek w prawo - dziedzina funkcji zmienia się do (a + n, b + n); - zbiór wartości funkcji nie zmienia się.
Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
W interpretacji geometrycznej, jest to miejsce przecięcia wykresu z osią OX.
ROZWIĄZANIE:
Wykres funkcji
[tex]f(x)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^x[/tex]
przesunięto równolegle wzdłuż osi OY i otrzymano wykres funkcji [tex]g[/tex], której zbiorem wartości jest przedział [tex](-27,\ \infty)[/tex].
Dziedziną funkcji [tex]f[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych:
Zbiór wartości zmienił się zmniejszając o 27. Stąd wnioskujemy, że wykres funkcji [tex]f[/tex] przesunięto o 27 jednostki w dół. W związku z tym szukany wzór funkcji ma postać:
[tex]\huge\begin{array}{lccc}g(x)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^x-27\\\mathbb{M}z_g:x=-1,5\end{array}[/tex]
Przekształcenie wykresu funkcji.
Niech dana będzie funkcja y = f(x) określona w przedziale (a, b) i mająca zbiór wartości (c, d). Niech będzie dany wykres tej funkcji oraz liczba n > 0. Wówczas:
- dziedzina funkcji nie zmienia się;
- zbiór wartości funkcji zmienia się do (c + n, d + n)
- dziedzina funkcji nie zmienia się;
- zbiór wartości funkcji zmienia się do (c - n, d - n)
- dziedzina funkcji zmienia się do (a - n, b - n);
- zbiór wartości funkcji nie zmienia się
- dziedzina funkcji zmienia się do (a + n, b + n);
- zbiór wartości funkcji nie zmienia się.
Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
W interpretacji geometrycznej, jest to miejsce przecięcia wykresu z osią OX.
ROZWIĄZANIE:
Wykres funkcji
[tex]f(x)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^x[/tex]
przesunięto równolegle wzdłuż osi OY i otrzymano wykres funkcji [tex]g[/tex], której zbiorem wartości jest przedział [tex](-27,\ \infty)[/tex].
Dziedziną funkcji [tex]f[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych:
[tex]\mathbb{D}=\mathbb{R}\\\\\mathbb{ZW}=\mathbb{R^+}[/tex]
Zbiór wartości zmienił się zmniejszając o 27. Stąd wnioskujemy, że wykres funkcji [tex]f[/tex] przesunięto o 27 jednostki w dół. W związku z tym szukany wzór funkcji ma postać:
[tex]g(x)=f(x)-27\\\\g(x)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^x-27[/tex]
Obliczamy miejsce zerowe funkcji [tex]g[/tex]:
[tex]g(x)=0\iff\left(\dfrac{1}{9}\right)^x-27=0\qquad|+27\\\\\left(\dfrac{1}{9}\right)^x=27\\\\9^{-x}=3^3\\\\\left(3^2\right)^{-x}=3^3\\\\3^{-2x}=3^3\iff-2x=3\qquad|:(-2)\\\\\boxed{x=-1,5}[/tex]