Pani Ania kupila 4 kilogramy pomidorów po 6,50 zł za kilogram i pewną ilość kilogramów śliwek, które kosztowały 5 zł za kilogram. Pani Bożena kupila 3 kilogramy ogórków po 6 zł za kilogram i pewną ilość winogron w cenie 7 zł za kilogram. Obie panie zapłaciły tyle samo za swoje zakupy.
Czy pani Ania mogła kupić taką samą liczbę całkowitą kilogramów śliwek, co pani Bożena
winogron? Zapisz obliczenia.
Czy pani Ania mogła kupić taką samą liczbę całkowitą kilogramów śliwek, co pani Bożena
winogron? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź:
Niech x oznacza liczbę kilogramów śliwek, które kupiła Pani Ania, a y oznacza liczbę kilogramów winogron, które kupiła Pani Bożena. Wtedy, wyrażając koszty zakupów, otrzymujemy równanie:
4*6,5 + x*5 = 3*6 + y*7
Uporządkujmy to równanie:
26 + 5x = 18 + 7y
5x = 7y - 8
y = (5/7)x + (8/7)
Chcemy sprawdzić, czy liczby x i y mogą być liczbami całkowitymi. Wiedząc, że koszt zakupów musi być liczbą całkowitą, mamy:
4*6,5 = 26 zł
3*6 = 18 zł
Zakładając, że koszt zakupów jest taki sam dla obu pań, musimy mieć:
26 + 5x = 18 + 7y = 44 + 7(x + y)
czyli:
5x - 7(x + y) = -18
Z lewej strony mamy różnicę dwóch liczb całkowitych, czyli wynik też musi być liczbą całkowitą. Oznacza to, że liczba 7 musi dzielić różnicę 5x - 7(x + y). Zauważmy jednak, że liczby 5 i 7 są względnie pierwsze, a zatem ich różnica, czyli 2, nie ma wspólnych dzielników z 7. Oznacza to, że różnica 5x - 7(x + y) nie może być liczbą całkowitą. Inaczej mówiąc, nie istnieją takie liczby całkowite x i y, dla których koszty zakupów Ani i Bożeny byłyby równe.
Odpowiedź: Nie, Pani Ania nie mogła kupić takiej samej liczby całkowitej kilogramów śliwek, co Pani Bożena winogron, aby obie zapłaciły tyle samo za swoje zakupy.
Jest to niemożliwe