Question

( OSN SD )
1. Biarkan K menjadi hasil dari
X1 + X2 + X3 + X4 + ... + X2019
Jika X1 = 25 dan X2 = 125, maka buktikanla secara benar atau salah bahwa :
• Angka satuan dari hasil K²⁰¹⁷ adalah 5
• Nilai dari X2019⁵ tidak mungkin lebih dari K sendiri​

Answer 1

• Penyataan “Angka satuan dari hasil K²⁰¹⁷ adalah 5.” BENAR.
• Pernyataan “Nilai dari X2019⁵ tidak mungkin lebih dari K sendiri​.” SALAH.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita punya:
K = X1 + X2 + X3 + X4 + ... + X2019

Jika X1 = 25 dan X2 = 125, maka kita dapat memiliki 2 alternatif, yaitu:

• Alternatif 1:
  Suku berikutnya sama dengan 100 lebihnya dari suku sebelumnya.
  X3 = 225, X4 = 325, X5 = 425, dst, hingga X2019 = 201.825.
• Alternatif 2:
  Suku berikutnya sama dengan 5 kali suku sebelumnya.
  X3 = 625 = 5⁴, X4 = 3125 = 5⁵, X5 = 15.625 = 5⁶, dst, hingga X2019 = 5²⁰²⁰.

Karena K adalah penjumlahan dari 2019 suku, dengan setiap sukunya memiliki angka satuan 5, dan 2019 adalah bilangan ganjil, maka untuk kedua alternatif di atas, angka satuan dari K adalah 5.

Angka satuan pada hasil K²⁰¹⁷ juga sama dengan 5, karena semua bilangan bulat yang memiliki satuan 5 ketika dipangkatkan berapapun (asalkan pangkatnya adalah bilangan asli), hasilnya pasti memiliki angka satuan 5.

KESIMPULAN 1
∴ Penyataan “Angka satuan dari hasil K²⁰¹⁷ adalah 5.” BENAR.
____________

Untuk pernyataan selanjutnya, pada alternatif 1, nilai K adalah:
K = [(0 + 1 + ... + 2018) × 100] + (2019 × 25)
= [½(2019)(0 + 2018) × 100] + (2019 × 25)
= (2019 × 1009 × 100) + (2019 × 25)
= 2019(100.000 + 900 + 25)
= 2019(100.000 + 900 + 20 + 5)
= 201.900.000 + 1.817.100 + 40.380 + 10.095
= 203.717.100 + 50.475
= 203.767.575
= 2 × 10⁸ + 3.767.575

Sedangkan X2019 = 201.825 yang relatif dekat dengan 200.000 = 2 × 10⁵, sehingga:
X2019⁵ > 2⁵ × (10⁵)⁵
⇒ X2019⁵ > 32 × 10^25

Jelas bahwa X2019⁵ > K.

Pada alternatif 2, juga sangat jelas bahwa nilai X2019⁵ akan jauh lebih besar dari nilai K.

K = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁰
⇒ 5²⁰²⁰ < K < 5²⁰²¹

Sedangkan X2019⁵ = (5²⁰²⁰)⁵ = 5¹⁰¹⁰⁰.

KESIMPULAN 2
∴ Pernyataan “Nilai dari X2019⁵ tidak mungkin lebih dari K sendiri​.” SALAH.
[tex]\blacksquare[/tex]