Question

Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k.

Answer 1

Odpowiedź:

Dla [tex]k\in R\setminus \left\{-2;2 \right\}  [/tex]  układ ma jedno rozwiązanie

Dla k=2 układ nie ma rozwiązania.

Dla k=-2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\begin{cases}kx-y=2\\-4x+ky=4 \end{cases} [/tex]

[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}k&-1\\-4&k\end{array}\right|=k^2-4[/tex]

[tex]W_x=\left|\begin{array}{ccc}2&-1\\4&k\end{array}\right|=2k+4[/tex]

[tex]W_y=\left|\begin{array}{ccc}k&2\\-4&4\end{array}\right|=4k+8[/tex]

1.

[tex]W \neq 0[/tex]

[tex]k^2-4 \neq 0[/tex]

[tex](k+2)(k-2) \neq 0[/tex]

[tex]k\in R\setminus \left\{-2;2 \right\}  [/tex]

Układ ma jedno rozwiązanie

[tex] \begin{cases}x=\frac{2k+4}{k^2-4}\\y=\frac{4k+8}{k^2-4} \end{cases}[/tex]

2.

[tex]W = 0[/tex]

[tex]k^2-4 = 0[/tex]

[tex](k+2)(k-2) =0[/tex]

[tex]k=-2\ \ \ lub\ \ \ k=2 [/tex]

[tex]W_x \neq 0[/tex]

[tex]2k+4 \neq 0[/tex]

[tex]2k \neq -4\ \ \ |:2[/tex]

[tex]k \neq-2[/tex]

[tex]W_y \neq 0[/tex]

[tex]4k+8 \neq 0[/tex]

[tex]4k \neq -8\ \ \ |:4[/tex]

[tex]k \neq-2[/tex]

Czyli dla k=2 układ nie ma rozwiązania.

3.

[tex]W = 0[/tex]

[tex]k^2-4 = 0[/tex]

[tex](k+2)(k-2) =0[/tex]

[tex]k=-2\ \ \ lub\ \ \ k=2 [/tex]

[tex]W_x=0[/tex]

[tex]2k+4 = 0[/tex]

[tex]2k= -4\ \ \ |:2[/tex]

[tex]k=-2[/tex]

[tex]W_y= 0[/tex]

[tex]4k+8 = 0[/tex]

[tex]4k = -8\ \ \ |:4[/tex]

[tex]k =-2[/tex]

Czyli dla k=-2 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.