Question

Odległość między Ziemią a Księżycem wynosi 3 800 000km, masa Ziemi jest większa od Księżyca o 81 razy. W jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się punkt, w którym Księżyc się równoważy (Albo w którym Księżyc z Ziemią się równoważą jestem końca zdania pewna bo nie zdążyłam zanotować)

Answer 1

Oznaczenia przyjęte w zadaniu
M - masa Ziemi
m - masa księżyca
m₀ - masa ciała
384 tys km jest równa około 60 promieni Ziemi
m = 1/81 M
R - promień Ziemi
Szuk: r
Rozw.:

GMm₀/r² = Gmm₀/(60R - r)²
dzielimy obustronnie przez G i m₀
M/r² = m/(60R - r)²
M/r² = (1/81) M /(60R - r)²
ostatecznie
r² = 81 (60R - r)²
r² = 291600 R² - 9720Rr +81r²
81r² - r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
80r² - 9720Rr + 291600 R² = 0
Jest to równanie drugiego stopnia więc żeby je policzyć musimy wyznaczyć Δ i pierwiastki r₁ i r₂ (patrz matematyka - wzory!)
czyli
Δ = (9720R)² - 4 × 80 × 291600 R² = 1166400R²
√Δ = 1080R
r₁ = (9720R - 1080R) / 160 = 54 R
r₂ = (9720R + 1080R) / 160 = 67,5 R
r2 nie spełnia warunków zadania, więc odpowiedzią do zadania jest r₁
Odp: w odległości 54 R od środka Ziemi pomiędzy Ziemią a Księżycem znajduje się punkt, w którym siły grawitacyjne pochodzące od Ziemi i Księżyca znoszą się wzajemnie.

Answer 2

F₁=F₂
F₁=GM₁m/x²
M₁-masa Ziemi
x-odległość Ziemi od tego punktu
F₂=GM₂m/(r-x)²
M₂- masa Księżyca
r-x - odległość Księżyca od tego punktu
GM₁m/x²=GM₂m/(r-x)², G i m możemy skrócić
M₁/x²=M₂/(r-x)²
M₁=81M₂
81M₂/x²=M₂/(r-x)² -M₂ skracamy
81/x²=1/(r-x)²,bierzemy pod pierwiastek,albo można liczyć deltę
9/x=1/(r-x)
9(r-x)=x
9r-9x=x
10x=9r
x=0,9r
x=3420000km