Question

Odległość między prostymi równoległymi k : v = x - 3 oraz lx - y + 12 = 0 jest równa:

Answer 1

Odległość pomiędzy punktem [tex]\mathrm{\mathbf{P(x_0,y_0)}}[/tex], a prostą
o równaniu ogólnym [tex]\mathrm{\mathbf{Ax+By+C=0}}[/tex] wyraża wzór:

                             [tex]\mathrm{\mathbf{d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}.}[/tex]

Zauważ, że odległość między prostą, a punktem wybranym z prostej równoległej będzie zawsze taka sama bez względu na to, który punkt
z tej prostej wybierzemy.

Zatem, aby obliczyć odległość pomiędzy dwiema prostymi równoległymi wystarczy wybrać z jednej prostej dowolny punkt i obliczy odległość pomiędzy tym punktem, a drugą prostą.

Dane są dwie proste:

       [tex]\mathrm{k: \ \ \ y=x-3} \\ \\ \mathrm{l: \ \ \ x-y+12=0}[/tex]

Wybieramy jeden punkt z prostej [tex]\mathrm{k:}[/tex]

      dla [tex]\mathrm{x=0,}[/tex] mamy [tex]\mathrm{y=0-3=-3,}[/tex] czyli znaleźliśmy punkt [tex]\mathrm{P=(0,-3).}[/tex]

Obliczamy odległość pomiędzy punktem [tex]\mathrm{P}[/tex] i prostą [tex]\mathrm{l:}[/tex]

       [tex]\mathrm{d=\frac{|1\cdot0+(-1)\cdot (-3)+12|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} } =\frac{|0+3+12|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|15|}{\sqrt{2} } =\frac{15}{\sqrt{2} } \cdot \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{15\sqrt{2}}{2}}[/tex]

Odległość pomiędzy prostymi [tex]\mathrm{k}[/tex] i [tex]\mathrm{l}[/tex] jest równa [tex]\mathrm{\frac{15\sqrt{2}}{2}}[/tex].