Question

Odcinek o końcach w punktach = (−1, 3) i = (5, 1) jest podstawą pewnego trójkąta równobocznego.
Wyznacz równanie prostej, w której zawarta jest dwusieczna kąta tego trójkąta o wierzchołku .
Proszę o pilną odpowiedz oraz szczegółowe rozwiązanie zadania
Dziękuję

Answer 1

Odpowiedź:

Oznaczmy podane współrzędne punktów jako wierzchołki A i B trójkąta równobocznego .

A = (- 1 , 3 ) , B = ( 5 , 1 )

xa = - 1 , xb= 5 , ya = 3 , yb = 1

Obliczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B

I sposób

a - współczynnik kierunkowy prostej = (yb - ya)/(xb - xa) =

= (1 - 3)/(5 + 1) = - 2/6 = - 1/3

Ponieważ punkty A i B należą do wykresu prostej , więc spełniają równanie

y = ax + b ( równanie kierunkowe prostej)

a = - 1/3 , A = ( - 1 , 3 )

3 = - 1/3 * (- 1) + b

3 = 1/3 + b

b - wyraz wolny = 3 - 1/3 = 2 3/3 - 1/3 = 2 2/3

y = (- 1/3)x + 2 2/3

II sposób (korzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B

(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x - xa)

(5 + 1)(y - 3) = ( 1 - 3)(x + 1)

6(y - 3) = - 2(x + 1)

6y - 18 = - 2x - 2

6y = - 2x - 2 + 18

6y = - 2x + 16 | : 6

y = (- 2/6)x + 16/6

y = (- 1/3)x + 2 4/6

y = (- 1/3)x + 2 2/3

Dwusieczna kąta trójkąta równobocznego jest prostopadłą do przeciwległego boku i przechodzi przez środek tego boku

Obliczamy punkt środkowy odcinka IABI

S - punkt środkowy odcinka IABI = (xs , ys)

xs = (xa + xb)/2 = (- 1 + 5)/2 = 4/2 = 2

ys = (ya + yb)/2 = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

S = ( 2 , 2 )

Warunkiem prostopadłości prostych jest :

a₁ * a₂ = - 1 (iloczyn współczynników kierunkowych prostych = - 1 ) \

a₁ = - 1/3

- 1/3 * a₂ = - 1

a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej = - 1 : (- 1/3) =

= - 1 * (- 3) = 3

Ponieważ punkt S należy do dwusiecznej kąta w trójkącie równobocznym , więc spełnia równanie :

y = a₂x + b , S = (2 , 2 )

2 = 3 * 2 + b

2 = 6 + b

b = 2 - 6 = - 4

Dwusieczna w postaci kierunkowej prostej ma postać :

y = 3x - 4