Question

Obtengase la ecuación general de la hiperbola horizontal cuyo centro es el punto (-2,1) y pasa por los puntos p(0,2) y Q(1,-4)

Answer 1

Solución:
=> es de la forma: [(x - h)^2 / a^2 ] - [ (y - k)^2 / b^2 ] = 1
Datos:
C: (-2,1) reemplazando en la fórmula, tenemos:

=> [ (x - (-2))^2 / a^2] - [ (y - 1)^2 / b^2 ] = 1...(*)

P(0,2) y Q(1,-4) reemplazando estos puntos en la ecuación (*), tenemos:

=> [ (0 + 2)^2 / a^2 ] - [ (2 - 1)^2 / b^2 ] = 1........(ec.1)

=> [ (1 + 2)^2 / a^2 ] - [ (-4 - 1)^2 / b^2] = 1 ........(ec.2)

Desarrollando estas dos ecuaciones:

=> 4 / a^2 - 1 / b^2 = 1 ...........(ec.1)
=> 9 / a^2 - 25 / b^2 = 1 ..........(ec.2)

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

Hago un reemplaza en 1 / a^2 = u   y 1 / b^2 = v

=> 4u - v = 1...............(ec.1)
=> 9u - 25v = 1 ...........(ec.2)

Resolviendo este nuevo sistema:

=> 100u - 25V = 25

=>  - 9u + 25v =  1
...._______________
...... 91u .../..= 24

...............  u = 24 / 91

Con el valor de u lo reemplazo :
4u - v = 1 

=> 4(24/91) - v = 1

=> 96/91 - 1 = v

=> v = 5 / 91
cambiando las sustituciones anteriores. tenemos:

u = 1 / a^2 => 24/91 = 1 / a^2 => 24*a^2 = 91 => a^2 = 91/24

v= 1 / b^2 => 51/91 = 1 / b^2 => 51b^2 = 91 => b^2 = 91/21

Con estos dos valores encontrados se reemplazan en la ecuación de la hiperbola, así:

=>  [ ( x + 2)^2 / (91/24) ] - [ (y-1)^2 / (91/51) ] = 1 .....RESPUESTA.

Saludos.
renedescartes.