Question

Obten las soluciones de estos sistemas
a.x2-3x-4>0
2x-3<0
b.x2-3x-4<0
2x-3<0
c.x2-3x-4>0
2x-3>0
d.x2-3x-4<0
2x-3>0

Answer 1

Iniciarmos factorando x^2 - 3x - 4 ya que se usa en los cuatros sistemas:

x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)

Entonces,

a) (x - 4)(x + 1) > 0

Se cumple si los dos factores son positivos y si los dos factores son negativos.

a-1) Si los dos factores son positivos

x > 4 y x > -1 ⇒ x > 4

a-2) Si los dos factores son negativos

x < 4 y x < -1 ⇒ x < -1

La solucion de la primera desigualdad es el intervalo (-∞,-1) ∪ (4,∞).

a-3) La solucion de la segunda desigualdad es

x < 3/2, o sea el intervalo (-∞,3/2)

La solucion del sistema es la intersecon de las dos soluciones, lo cual es el intervalo (-∞,-1)

b.
x2-3x-4<0
2x-3<0

(x-4)(x-1) < 0

Se cumplen si los dos factores tienen signos opuestos.

b-1) x - 4 < 0 y x +1 > 0

x < 4 y x > -1 ⇒ intervalo (-1,4)

b-2) x - 4 > 0 y x + 1 < 0

x > 4 y x < -1 . No se cumple nunca.

Por tanto la solucion a la primera desigualdad es el intervalo (-1,4)

b-3) x < 3/2 = intervalo (-∞,3/2)

La solucion del sistema es la interseccion de ambas soluciones: (-1,3/2)

c.x2-3x-4>0
2x-3>0

c-1)La primera desigualdad es la misma de a) por lo tanto su solucion es la misma:  el intervalo (-∞,-1) ∪ (4,∞)

c-2) 2x - 3 > 0⇒ x > 3/2 = intervalo (3/2,∞)

La solucion del sistema es la interseccion de las dos soluciones: el intervalo (4,∞)

d.x2-3x-4<0
2x-3>0

d-1) La solucion de la primera desigualdad ya la hallamos: el intervalo (-1,4)

d-2) La solucion de la segunda desigualdad ya la hallamos: el intervalo (3/2,∞)

d-3) La solucion del sistema es la interseccion de las dos soluciones:
(3/2,4)

Answer 2

X^2 - 3x - 4 > 0

x^2 - 3x - 4 = 0

(x -4) (x + 1) = 0

x1 = 4 ; x2 = -1

Para x (4, infinito) cumple la desigualdad que sea mayor que cero

2x - 3 < 0
x < 3/2

El conjunto es vacío porque no hay valor de x que satisfaga ambas inecuaciones.

b) Sol x (- infinito, 3/2) excluyendo a -1

c) Sol x (4, infinito)

d) Sol x (3/2;4)