Question

Oblicz zadanie ze zdjęcia w załączniku za pomocą wzoru de Moivre'a

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}(1-i)^{34}=-2^{17}i\end{array}[/tex]

Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych.

Liczbę zespoloną [tex]z\in\mathbb{C}[/tex], z argumentem: [tex]\alpha[/tex], możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:

[tex]z=|z|\cdot(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/tex]

Wzór de Moivre'a:

[tex]z^n=\bigg[|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\bigg]^n=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)[/tex]

Moduł liczby zespolonej:

[tex]z=a+bi\to|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Do obliczenia mamy [tex](1-i)^{34}[/tex].

Zamieniamy liczbę na postać trygonometryczną:

Obliczamy moduł:

[tex]|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2[/tex]

Obliczamy argument:

[tex]\sin\alpha=\dfrac{-1}{\sqrt2}=\dfrac{-\sqrt2}{2}[/tex]

Jako, że:

[tex]z=1-i\to a=1\ \wedge\ b=-1\to(1,-1)[/tex]

to IV ćwiartka układu współrzędnych. Czyli:

[tex]\sin45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}\to\sin\left(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\sin\dfrac{7\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow\boxed{\alpha=\dfrac{7\pi}{4}}[/tex]

Zapisujemy liczbę w postaci trygonometrycznej:

[tex]z=\sqrt2\cdot\left(\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\sin\dfrac{7\pi}{4}\right)[/tex]

Korzystając ze wzoru de Moivre'a liczymy:

[tex]z^{34}=\left(\sqrt2\right)^{34}\cdot\left[\cos\left(34\cdot\dfrac{7\pi}{4}\right)+i\sin\left(34\cdot\dfrac{7\pi}{4}\right)\right]\\\\z^{34}=\left(2^{\frac{1}{2}\right)^{34}\cdot\left(\cos59,5\pi+i\sin59,5\pi\right)\\\\z^{34}=2^{17}\cdot\left(\cos1,5\pi+i\sin1,5\pi\right)\\\\z^{34}=2^{17}\cdot\left(0+i\cdot(-1)\right)\\\\z^{34}=-2^{17}i[/tex]