Za pomocą potęg możemy zapisać długie iloczyny takich samych liczb.
Potęgowanie możemy zapisać wzorem:
[tex]a^{n}=a*a*...*a[/tex], razy n, gdzie:
a to podstawa potęgi,
n to wykładnik potęgi.
Jeżeli wykładnik jest równy 1 to każda liczba podniesiona do takiej potęgi równa się sobie.
Jeżeli wykładnik równy jest 0 to każda liczba podniesiona do tej potęgi da 1.
Jeżeli potęga ma wykładnik ujemny to odwraca on liczbę potęgowaną.
Korzystamy z wzorów na potęgi:
[tex]a^{n} *a^{m} =a^{n+m}[/tex]
[tex]a^{n} :a^{m} =a^{n-m}[/tex]
[tex](a^{n})^{m}= a^{n*m}[/tex]
Musimy pamiętać też o kolejności wykonywania działań. Na początku wykonujemy potęgowanie i działania w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie i na końcu dodawanie i odejmowanie.
a) [tex]\frac{2}{3}[/tex]
b) [tex]\frac{1}{2}[/tex]
c) [tex]2\frac{1}{4}[/tex]
d) [tex]3\frac{5}{9}[/tex]
e) [tex]\frac{4}{9}[/tex]
f) [tex]\frac{81}{128}[/tex]
Obliczanie potęg.
Za pomocą potęg możemy zapisać długie iloczyny takich samych liczb.
Potęgowanie możemy zapisać wzorem:
[tex]a^{n}=a*a*...*a[/tex], razy n, gdzie:
Jeżeli wykładnik jest równy 1 to każda liczba podniesiona do takiej potęgi równa się sobie.
Jeżeli wykładnik równy jest 0 to każda liczba podniesiona do tej potęgi da 1.
Jeżeli potęga ma wykładnik ujemny to odwraca on liczbę potęgowaną.
Korzystamy z wzorów na potęgi:
Musimy pamiętać też o kolejności wykonywania działań. Na początku wykonujemy potęgowanie i działania w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie i na końcu dodawanie i odejmowanie.
Rozwiązujemy podane przykłady.
Do podanych wyrażeń podstawiamy podane wartości:
a = [tex]\frac{3}{4}[/tex]
b = [tex]\frac{8}{9}[/tex]
a)
[tex]\frac{(ab)^{-1} }{b^{-2}a^{-2} } =\frac{(\frac{3}{4}*\frac{8}{9} )^{-1} }{(\frac{8}{9})^{-2}*(\frac{3}{4})^{-2} } =\frac{(3*\frac{2}{9} )^{-1} }{(\frac{8}{9}*\frac{3}{4})^{-2} } =\frac{(\frac{2}{3} )^{-1} }{(\frac{2}{9}*3)^{-2} } =\frac{(\frac{2}{3} )^{-1} }{(\frac{2}{3})^{-2} } =(\frac{2}{3} )^{-1-(-2)}=(\frac{2}{3} )^{1}=\frac{2}{3}[/tex]
b)
[tex]\frac{a^{5}b^{-2} }{(b^{-1}a)^{3} } =\frac{(\frac{3}{4}) ^{5}*(\frac{8}{9} )^{-2} }{((\frac{8}{9})^{-1}*\frac{3}{4})^{3} } =\frac{\frac{243}{1024}*(\frac{9}{8} )^{2} }{((\frac{8}{9})^{-1})^{3} *\frac{27}{64} } =\frac{\frac{243}{1024}*\frac{81}{64} }{(\frac{9}{8})^{3} *\frac{27}{64} } =\frac{\frac{243}{1024}*\frac{81}{64} }{\frac{729}{512} *\frac{27}{64} } =\frac{19683}{65536} :\frac{19683}{32768} =\frac{19683}{65536} *\frac{32768}{19683} =\frac{1}{2}[/tex]
c)
[tex]\frac{ab^{2} *(ab)^{-3} }{(a^{0}b^{-1})^{-1} } =\frac{\frac{3}{4}*(\frac{8}{9})^{2} *(\frac{3}{4}*\frac{8}{9})^{-3} }{((\frac{3}{4})^{0}*(\frac{8}{9})^{-1})^{-1} } =\frac{\frac{3}{4}*(\frac{8}{9})^{2} *(3*\frac{2}{9})^{-3} }{(1*(\frac{8}{9})^{-1})^{-1} } =\frac{\frac{3}{4}*(\frac{8}{9})^{2} *(\frac{3}{2})^{3} }{((\frac{8}{9})^{-1})^{-1} } =\frac{\frac{3}{4}*(\frac{8}{9})^{2} *(\frac{3}{2})^{3} }{((\frac{8}{9})^{-1*(-1)} } =[/tex]
[tex]=\frac{\frac{3}{4}*(\frac{8}{9})^{2} *(\frac{3}{2})^{3} }{\frac{8}{9} } =\frac{3}{4}*\frac{8}{9} *(\frac{3}{2})^{3}=3*\frac{2}{9} *\frac{27}{8}=\frac{2}{3} *\frac{27}{8}=2*\frac{9}{8}=\frac{9}{4} =2\frac{1}{4}[/tex]
d)
[tex]\frac{(a^{7}*b^{-2}):b^{3} }{(a^{8}: a^{-3})*(b^{-2})^{2} } =\frac{(a^{7}*b^{-2}):b^{3} }{(a^{11})*(b^{-4}) } =\frac{((\frac{3}{4})^{7}*(\frac{8}{9})^{-2}):(\frac{8}{9})^{3} }{(\frac{3}{4})^{11}*(\frac{8}{9})^{-4} } =\frac{((\frac{3}{4})^{7}*(\frac{9}{8})^{2}):(\frac{512}{729}) }{(\frac{3}{4})^{11}*(\frac{9}{8})^{4} } =\frac{((\frac{3}{4})^{7}*(\frac{81}{64})*\frac{729}{512} }{(\frac{3}{4})^{11}*\frac{6561}{4096} } =[/tex]
[tex]=\frac{((\frac{3}{4})^{7}*(\frac{81}{64})*\frac{729}{512} }{(\frac{3}{4})^{11}*\frac{6561}{4096} } =\frac{\frac{3^{7}* 81}{4^{7}*64}*\frac{729}{512} }{\frac{6561*3^{11} }{4096*4^{11}} } =\frac{\frac{3^{7}* 3^{4}}{4^{7}*4^{3}}*\frac{729}{512} }{\frac{6561*3^{11} }{4096*4^{11}} } =\frac{\frac{3^{11}}{4^{10}}*\frac{729}{512} }{\frac{6561*3^{11} }{4096*4^{11}} } =\frac{3^{11}}{4^{10}}*\frac{729}{512} :\frac{6561*3^{11} }{4096*4^{11}}=[/tex]
[tex]=\frac{3^{11}}{4^{10}}*\frac{729}{512} :\frac{6561*3^{11} }{4096*4^{11}} =\frac{3^{11}}{4^{10}}*\frac{729}{512}*\frac{4096*4^{11} }{6561*3^{11} }=\frac{729*8*4}{6561} =\frac{8*4}{9}=\frac{32}{9}=3\frac{5}{9}[/tex]
e)
[tex]\frac{(a^{-1} b^{2})^{-3}a^{-2}b^{5} }{a^{2} :(ab)^{3} }= \frac{(a^{-1} b^{2})^{-3}a^{-2}b^{5} }{\frac{a^{2} }{(ab)^{3} } }=\frac{(a^{-1} b^{2})^{-3}*b^{5} *(ab)^{3} }{a^{4} }=\frac{a^{3} b^{-6}*b^{5} *a^{3} *b^{3} }{a^{4} }=\frac{ b^{-6}*b^{5} *a^{3} *b^{3} }{a }=b^{-6}*b^{5}*a^{2}*b^{3}=a^{2} b^{2} =(\frac{3}{4})^{2} *(\frac{8}{9})^{2}= (\frac{3}{4} *\frac{8}{9})^{2}=(3*\frac{2}{9})^{2} =(\frac{2}{3} )^{2} =\frac{4}{9}[/tex]
f)
[tex]\frac{(a^{-2}b)*(a^{3} *b^{4})^{-1} }{(a^{2}b^{-3} ):(a^{5}b^{-1}) } =\frac{(a^{-2}b)*(a^{3} *b^{4})^{-1} }{\frac{a^{2}b^{-3}}{a^{5}b^{-1}} } =ab^{3} *(a^{3}b^{4})^{-1}= ab^{3} *a^{-3}b^{-4}=a^{-2}*b^{-1}=\frac{a}{a^{-2}} *\frac{1}{b} =\frac{1}{a^{-2}*b}= \frac{1}{(\frac{3}{4})^{-2}*\frac{8}{9}}=\frac{1}{(\frac{4}{3})^{2}*\frac{8}{9}}=\frac{1}{\frac{16}{9}*\frac{8}{9}}=\frac{1}{\frac{128}{81} }=\frac{81}{128}[/tex]
#SPJ1